Cálculo Ejemplos

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{2 π}{3}} \csc^{2} (\frac{1}{2} t) d t$

Paso 1

Sea $u = \frac{1}{2} t$ . Entonces $d u = \frac{1}{2} d t$ , de modo que $2 d u = d t$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = \frac{1}{2} t$ . Obtén $\frac{d u}{d t}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\frac{1}{2} t$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{1}{2} t]$

Paso 1.1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{1}{2} t$ con respecto a $t$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 1.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $t$ en $u = \frac{1}{2} t$ .

$u_{lower} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$

Paso 1.3

Multiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{π}{3}$ .

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Paso 1.3.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{π}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Paso 1.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $t$ en $u = \frac{1}{2} t$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.1

Factoriza $2$ de $2 π$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (π)}{3}$

Paso 1.5.2

Cancela el factor común.

$u_{upper} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{3}$

Paso 1.5.3

Reescribe la expresión.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) (1 \cdot 2) d u$

Paso 2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) \cdot 2 d u$

Paso 2.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\csc^{2} (u)$ .

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} 2 \csc^{2} (u) d u$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \csc^{2} (u) d u$

Paso 4

Como la derivada de $- \cot (u)$ es $\csc^{2} (u)$ , la integral de $\csc^{2} (u)$ es $- \cot (u)$ .

$2 (- \cot (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}})$

Paso 5

Evalúa $- \cot (u)$ en $\frac{π}{3}$ y en $\frac{π}{6}$ .

$2 (- \cot (\frac{π}{3}) + \cot (\frac{π}{6}))$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{3})$ es $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \cot (\frac{π}{6}))$

Paso 6.2

El valor exacto de $\cot (\frac{π}{6})$ es $\sqrt{3}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}} + \sqrt{3})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

Paso 7.2

Multiplica $2 (- \frac{1}{\sqrt{3}})$ .

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Paso 7.2.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$- 2 \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Paso 7.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Paso 7.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2}{\sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.1.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 2 \sqrt{3}$

Paso 8.1.2

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 8.1.2.1

Multiplica $\frac{2}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Paso 8.1.2.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 2 \sqrt{3}$

Paso 8.1.2.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 2 \sqrt{3}$

Paso 8.1.2.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 2 \sqrt{3}$

Paso 8.1.2.5

Suma $1$ y $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

Paso 8.1.2.6

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 8.1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 2 \sqrt{3}$

Paso 8.1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 2 \sqrt{3}$

Paso 8.1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

Paso 8.1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 2 \sqrt{3}$

Paso 8.1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 2 \sqrt{3}$

Paso 8.1.2.6.5

Evalúa el exponente.

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3}$

Paso 8.2

Para escribir $2 \sqrt{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 2 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 8.3

Combina $2 \sqrt{3}$ y $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 \sqrt{3}}{3} + \frac{2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Paso 8.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Paso 8.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{3}$

Paso 8.5.2

Suma $- 2 \sqrt{3}$ y $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Paso 9

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Forma decimal:

$2.30940107 \dots$