Cálculo Ejemplos

$\int \frac{- 3 x - 3}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Paso 1

Factoriza $3$ de $- 3 x - 3$ .

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Paso 1.1

Factoriza $3$ de $- 3 x$ .

$\int \frac{3 (- x) - 3}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Paso 1.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\int \frac{3 (- x) + 3 (- 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Paso 1.3

Factoriza $3$ de $3 (- x) + 3 (- 1)$ .

$\int \frac{3 (- x - 1)}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Paso 2

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$3 \int \frac{- x - 1}{\sqrt{x^{2} + 2 x - 4}} d x$

Paso 3

Sea $u = x^{2} + 2 x - 4$ . Entonces $d u = (2 x + 2) d x$ , de modo que $- \frac{1}{2} d u = (- x - 1) d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.1

Deja $u = x^{2} + 2 x - 4$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.1.1

Diferencia $x^{2} + 2 x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 4]$

Paso 3.1.2

Diferencia.

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Paso 3.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + 2 x - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Paso 3.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.1.4.1

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Paso 3.1.4.2

Suma $2 x + 2$ y $0$ .

$2 x + 2$

Paso 3.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$3 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Paso 4.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$3 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$3 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Paso 6

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 3 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Paso 8

Simplifica la expresión.

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Paso 8.1

Simplifica.

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Paso 8.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 3$ .

$\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 8.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 8.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 8.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 8.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 8.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 8.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{3}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 8.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 8.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{3}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reescribe $- \frac{3}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $- \frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- \frac{3}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2

Simplifica.

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Paso 10.2.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (\frac{3}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.2

Combina $- 2$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.3

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.4

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 10.2.4.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 3}{1} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10.2.4.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$- 3 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 11

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} + 2 x - 4$ .

$- 3 {(x^{2} + 2 x - 4)}^{\frac{1}{2}} + C$