Cálculo Ejemplos

$6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4}$

Paso 1

Escribe $6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4}$ como una función.

$f (x) = 6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4} d x$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 6 e^{2 x} d x + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Paso 5

Dado que $6$ es constante con respecto a $x$ , mueve $6$ fuera de la integral.

$6 \int e^{2 x} d x + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Paso 6

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 6.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 6.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 6.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$6 \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Paso 7

Combina $e^{u_{1}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$6 \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Paso 8

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$6 (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$\frac{6}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Paso 9.2

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Paso 9.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 (1)} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Paso 9.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Paso 9.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{1} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Paso 9.2.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$3 \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Paso 10

La integral de $e^{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $e^{u_{1}}$ .

$3 (e^{u_{1}} + C) + \int {(x + 1)}^{4} d x$

Paso 11

Sea $u_{2} = x + 1$ . Entonces $d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 11.1

Deja $u_{2} = x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Paso 11.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 11.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 11.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$3 (e^{u_{1}} + C) + \int {u_{2}}^{4} d u_{2}$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{2}}^{4}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{5} {u_{2}}^{5}$ .

$3 (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C$

Paso 13

Simplifica.

$3 e^{u_{1}} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C$

Paso 14

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 14.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$3 e^{2 x} + \frac{1}{5} {u_{2}}^{5} + C$

Paso 14.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x + 1$ .

$3 e^{2 x} + \frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} + C$

Paso 15

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 6 e^{2 x} + {(x + 1)}^{4}$ .

$F (x) =$ $3 e^{2 x} + \frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} + C$