Cálculo Ejemplos

$y = 8 x^{- 7} + 2 x^{5} - \frac{5}{x^{3}}$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (8 x^{- 7} + 2 x^{5} - \frac{5}{x^{3}})$

Paso 2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{- 7} + 2 x^{5} - \frac{5}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{- 7}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{- 7}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{- 7}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 7$ .

$8 (- 7 x^{- 8}) + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 7$ por $8$ .

$- 56 x^{- 8} + \frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{5}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 56 x^{- 8} + 2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- 56 x^{- 8} + 2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Paso 3.3.3

Multiplica $5$ por $2$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{3}}]$ .

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Paso 3.4.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{5}{x^{3}}$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Paso 3.4.2

Reescribe $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- 1}$ y $g (x) = x^{3}$ .

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Paso 3.4.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{3}$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.4.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.4.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{3}$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Paso 3.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Paso 3.4.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Paso 3.4.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Paso 3.4.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Paso 3.4.6

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Paso 3.4.7

Multiplica $x^{- 6}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.7.1

Mueve $x^{2}$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Paso 3.4.7.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 x^{2 - 6})$

Paso 3.4.7.3

Resta $6$ de $2$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} - 5 (- 3 x^{- 4})$

Paso 3.4.8

Multiplica $- 3$ por $- 5$ .

$- 56 x^{- 8} + 10 x^{4} + 15 x^{- 4}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 56 \frac{1}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 x^{- 4}$

Paso 3.5.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 56 \frac{1}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 3.5.3

Combina los términos.

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Paso 3.5.3.1

Combina $- 56$ y $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{- 56}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 3.5.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{56}{x^{8}} + 10 x^{4} + 15 \frac{1}{x^{4}}$

Paso 3.5.3.3

Combina $15$ y $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{56}{x^{8}} + 10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}}$

Paso 3.5.4

Reordena los términos.

$10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}} - \frac{56}{x^{8}}$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}} - \frac{56}{x^{8}}$

Paso 5

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 10 x^{4} + \frac{15}{x^{4}} - \frac{56}{x^{8}}$