Cálculo Ejemplos

$f (x, y) = x + y + x y$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (f (x, y)) = \frac{d}{d x} (x + y + x y)$

Paso 2

Multiplica $f$ por cada elemento de la matriz.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)]$

Paso 3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + y + x y$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + y' + \frac{d}{d x} [x y]$

Paso 3.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Paso 3.4.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y$ .

$1 + y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Paso 3.4.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + y' + x y' + y \cdot 1$

Paso 3.4.4

Multiplica $y$ por $1$ .

$1 + y' + x y' + y$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$x y' + y + 1 + y'$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) = x y' + y + 1 + y'$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x ((f x, f y))}$ .

$x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x ((f x, f y))}$

Paso 5.2

Simplifica $\frac{d}{d x ((f x, f y))}$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $d$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{d}{d x (f x, f y)}$

Paso 5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{x ((f x, f y))}$

Paso 5.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.2.1

Multiplica $x$ por cada elemento de la matriz.

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x (f x), x (f y))}$

Paso 5.2.2.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.2.2.1

Mueve $x$ .

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x \cdot x f, x (f y))}$

Paso 5.2.2.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x (f y))}$

$x y' + y + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)}$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + 1 + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y$

Paso 5.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x y' + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Paso 5.4

Factoriza $y'$ de $x y' + y'$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $y'$ de $x y'$ .

$y' x + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Paso 5.4.2

Eleva $y'$ a la potencia de $1$ .

$y' x + y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Paso 5.4.3

Factoriza $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' x + y' \cdot 1 = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Paso 5.4.4

Factoriza $y'$ de $y' x + y' \cdot 1$ .

$y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$

Paso 5.5

Divide cada término en $y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$ por $x + 1$ y simplifica.

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Paso 5.5.1

Divide cada término en $y' (x + 1) = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} - y - 1$ por $x + 1$ .

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Paso 5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Paso 5.5.2.1.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Paso 5.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.5.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y)} \cdot \frac{1}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Paso 5.5.3.1.2

Multiplica $\frac{1}{(x^{2} f, x f y)}$ por $\frac{1}{x + 1}$ .

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Paso 5.5.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} + \frac{- 1}{x + 1}$

Paso 5.5.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} - \frac{y}{x + 1} - \frac{1}{x + 1}$

Paso 5.5.3.2

Combina en una fracción.

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Paso 5.5.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$

Paso 5.5.3.2.2

Reordena los factores en $\frac{1}{(x^{2} f, x f y) (x + 1)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$ .

$y' = \frac{1}{(x + 1) (x^{2} f, x f y)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{(x + 1) (x^{2} f, x f y)} + \frac{- y - 1}{x + 1}$