Cálculo Ejemplos

$\int_{a}^{b} \frac{1}{b - a} x d x$

Paso 1

Combina $\frac{1}{b - a}$ y $x$ .

$\int_{a}^{b} \frac{x}{b - a} d x$

Paso 2

Dado que $\frac{1}{b - a}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{b - a}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} x d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{b - a} \frac{1}{2} x^{2}]_{a}^{b}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Simplifica.

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Paso 4.1.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{b - a} \frac{x^{2}}{2}]_{a}^{b}$

Paso 4.1.2

Combina $\frac{1}{b - a}$ y $\frac{x^{2}}{2}]_{a}^{b}$ .

$\frac{\frac{x^{2}}{2}]_{a}^{b}}{b - a}$

Paso 4.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.2.1

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $b$ y en $a$ .

$\frac{(\frac{b^{2}}{2}) - \frac{a^{2}}{2}}{b - a}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $\frac{\frac{b^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2}}{b - a}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{b^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2}}{b - a}$

Paso 4.2.2.2

Combinar.

$\frac{2 (\frac{b^{2}}{2} - \frac{a^{2}}{2})}{2 (b - a)}$

Paso 4.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \frac{b^{2}}{2} + 2 (- \frac{a^{2}}{2})}{2 (b - a)}$

Paso 4.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \frac{b^{2}}{2} + 2 (- \frac{a^{2}}{2})}{2 (b - a)}$

Paso 4.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{b^{2} + 2 (- \frac{a^{2}}{2})}{2 (b - a)}$

Paso 4.2.2.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{b^{2} - 2 \frac{a^{2}}{2}}{2 (b - a)}$

Paso 4.2.2.6

Combina $- 2$ y $\frac{a^{2}}{2}$ .

$\frac{b^{2} + \frac{- 2 a^{2}}{2}}{2 (b - a)}$

Paso 4.2.2.7

Cancela el factor común de $- 2$ y $2$ .

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Paso 4.2.2.7.1

Factoriza $2$ de $- 2 a^{2}$ .

$\frac{b^{2} + \frac{2 (- a^{2})}{2}}{2 (b - a)}$

Paso 4.2.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.2.2.7.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{b^{2} + \frac{2 (- a^{2})}{2 (1)}}{2 (b - a)}$

Paso 4.2.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{b^{2} + \frac{2 (- a^{2})}{2 \cdot 1}}{2 (b - a)}$

Paso 4.2.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{b^{2} + \frac{- a^{2}}{1}}{2 (b - a)}$

Paso 4.2.2.7.2.4

Divide $- a^{2}$ por $1$ .

$\frac{b^{2} - a^{2}}{2 (b - a)}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = b$ y $b = a$ .

$\frac{(b + a) (b - a)}{2 (b - a)}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $b - a$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(b + a) (b - a)}{2 (b - a)}$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{b + a}{2}$