Cálculo Ejemplos

$\frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$

Paso 1

Escribe $\frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$ como una función.

$f (x) = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Paso 4

Factoriza $\sqrt{x}$ de $x \sqrt{x} + \sqrt{x}$ .

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Paso 4.1

Factoriza $\sqrt{x}$ de $x \sqrt{x}$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x + \sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Paso 4.2

Multiplica por $1$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 1}{x^{2}} d x$

Paso 4.3

Factoriza $\sqrt{x}$ de $\sqrt{x} x + \sqrt{x} \cdot 1$ .

$\int \frac{\sqrt{x} (x + 1)}{x^{2}} d x$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 5.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int \sqrt{x} (x + 1) x^{- 2} d x$

Paso 5.2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} (x + 1) x^{- 2} d x$

Paso 5.2.3

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x^{- 2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.3.1

Mueve $x^{- 2}$ .

$\int x^{- 2} x^{\frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Paso 5.2.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{- 2 + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Paso 5.2.3.3

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{- 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Paso 5.2.3.4

Combina $- 2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} (x + 1) d x$

Paso 5.2.3.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2}} (x + 1) d x$

Paso 5.2.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.6.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\int x^{\frac{- 4 + 1}{2}} (x + 1) d x$

Paso 5.2.3.6.2

Suma $- 4$ y $1$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} (x + 1) d x$

Paso 5.2.3.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int x^{- \frac{3}{2}} (x + 1) d x$

Paso 6

Expande $x^{- \frac{3}{2}} (x + 1)$ .

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int x^{- \frac{3}{2}} x + x^{- \frac{3}{2}} \cdot 1 d x$

Paso 6.2

Reordena $x^{- \frac{3}{2}}$ y $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} x + 1 \cdot x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 6.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int x^{- \frac{3}{2}} x^{1} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int x^{- \frac{3}{2} + 1} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 6.5

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int x^{- \frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 6.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int x^{\frac{- 3 + 2}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 6.7

Suma $- 3$ y $2$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + 1 x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 6.8

Multiplica $x^{- \frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\int x^{\frac{- 1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int x^{- \frac{1}{2}} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 8

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 9

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + C - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Simplifica.

$2 x^{\frac{1}{2}} - 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Combina $- 2$ y $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 11.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Paso 12

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{x \sqrt{x} + \sqrt{x}}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$