Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} (2 x - 1) (x + 2) d x$

Paso 1

Simplifica.

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Paso 1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{1} 2 x (x + 2) - 1 (x + 2) d x$

Paso 1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{1} 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 1 (x + 2) d x$

Paso 1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int_{0}^{1} 2 x \cdot x + 2 x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Paso 1.4

Mueve $x$ .

$\int_{0}^{1} 2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Paso 1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{1} 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 2 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Paso 1.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int_{0}^{1} 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 2 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Paso 1.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int_{0}^{1} 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 2 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Paso 1.8

Suma $1$ y $1$ .

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} + 2 \cdot 2 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Paso 1.9

Multiplica $2$ por $2$ .

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} + 4 x - 1 x - 1 \cdot 2 d x$

Paso 1.10

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} + 4 x - 1 x - 2 d x$

Paso 1.11

Resta $1 x$ de $4 x$ .

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} + 3 x - 2 d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 3 x d x + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Paso 3

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 3 x d x + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 x d x + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Paso 5

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 3 x d x + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Paso 6

Dado que $3$ es constante con respecto a $x$ , mueve $3$ fuera de la integral.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 3 \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Paso 8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} - 2 d x$

Paso 9

Aplica la regla de la constante.

$2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + - 2 x]_{0}^{1}$

Paso 10

Sustituye y simplifica.

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Paso 10.1

Evalúa $\frac{x^{3}}{3}$ en $1$ y en $0$ .

$2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}) + - 2 x]_{0}^{1}$

Paso 10.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $1$ y en $0$ .

$2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + - 2 x]_{0}^{1}$

Paso 10.3

Evalúa $- 2 x$ en $1$ y en $0$ .

$2 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4

Simplifica.

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Paso 10.4.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.2

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.3

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 10.4.3.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.4.3.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.3.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$2 (\frac{1}{3} - 0) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.4

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$2 (\frac{1}{3} + 0) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.5

Suma $\frac{1}{3}$ y $0$ .

$2 (\frac{1}{3}) + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.6

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.7

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.9

Cancela el factor común de $0$ y $2$ .

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Paso 10.4.9.1

Factoriza $2$ de $0$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.4.9.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.9.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} - 0) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.10

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2} + 0) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.11

Suma $\frac{1}{2}$ y $0$ .

$\frac{2}{3} + 3 (\frac{1}{2}) + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.12

Combina $3$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{3}{2} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.13

Para escribir $\frac{2}{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.14

Para escribir $\frac{3}{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.15

Escribe cada expresión con un denominador común de $6$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 10.4.15.1

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.15.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.15.3

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.15.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{3 \cdot 3}{6} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.16

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 3}{6} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.17

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.17.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 + 3 \cdot 3}{6} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.17.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{4 + 9}{6} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.17.3

Suma $4$ y $9$ .

$\frac{13}{6} + (- 2 \cdot 1) + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.18

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{13}{6} - 2 + 2 \cdot 0$

Paso 10.4.19

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{13}{6} - 2 + 0$

Paso 10.4.20

Suma $- 2$ y $0$ .

$\frac{13}{6} - 2$

Paso 10.4.21

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{13}{6} - 2 \cdot \frac{6}{6}$

Paso 10.4.22

Combina $- 2$ y $\frac{6}{6}$ .

$\frac{13}{6} + \frac{- 2 \cdot 6}{6}$

Paso 10.4.23

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{13 - 2 \cdot 6}{6}$

Paso 10.4.24

Simplifica el numerador.

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Paso 10.4.24.1

Multiplica $- 2$ por $6$ .

$\frac{13 - 12}{6}$

Paso 10.4.24.2

Resta $12$ de $13$ .

$\frac{1}{6}$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{6}$

Forma decimal:

$0.1\overline{6}$

Paso 12