Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{2 x^{2} - 5 x + 7}{x^{2} + 5}}$

Paso 1

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\sqrt{lim_{x \to 2} \frac{2 x^{2} - 5 x + 7}{x^{2} + 5}}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{2} - 5 x + 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} 2 x^{2} - lim_{x \to 2} 5 x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Paso 4

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sqrt{\frac{2 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 5 x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Paso 5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 5 x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Paso 6

Mueve el término $5$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Paso 7

Evalúa el límite de $7$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + 5}}$

Paso 8

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $2$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 5}}$

Paso 9

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 5}}$

Paso 10

Evalúa el límite de $5$ que es constante cuando $x$ se acerca a $2$ .

$\sqrt{\frac{2 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}$

Paso 11

Evalúa los límites mediante el ingreso de $2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 11.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{2} - 5 lim_{x \to 2} x + 7}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}$

Paso 11.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 7}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 5}}$

Paso 11.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $2$ para $x$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Paso 12

Simplifica la respuesta.

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Paso 12.1

Multiplica $2$ por $2^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.1.1

Multiplica $2$ por $2^{2}$ .

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Paso 12.1.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$\sqrt{\frac{2^{1} \cdot 2^{2} - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Paso 12.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sqrt{\frac{2^{1 + 2} - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Paso 12.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\sqrt{\frac{2^{3} - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Paso 12.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\sqrt{\frac{8 - 5 \cdot 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Paso 12.3

Multiplica $- 5$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{8 - 10 + 7}{2^{2} + 5}}$

Paso 12.4

Resta $10$ de $8$ .

$\sqrt{\frac{- 2 + 7}{2^{2} + 5}}$

Paso 12.5

Suma $- 2$ y $7$ .

$\sqrt{\frac{5}{2^{2} + 5}}$

Paso 12.6

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{4 + 5}}$

Paso 12.7

Suma $4$ y $5$ .

$\sqrt{\frac{5}{9}}$

Paso 12.8

Reescribe $\sqrt{\frac{5}{9}}$ como $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{9}}$

Paso 12.9

Simplifica el denominador.

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Paso 12.9.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3^{2}}}$

Paso 12.9.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Paso 13

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Forma decimal:

$0.74535599 \dots$