Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x}$ , $4 \leq x \leq 9$

Paso 1

Obtén los puntos críticos.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Paso 1.1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 1.1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 1.1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 1.1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Paso 1.1.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Paso 1.1.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Paso 1.1.1.8

Simplifica.

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Paso 1.1.1.8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.1.8.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 1.2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Paso 1.2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Paso 1.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 1.2.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 1.3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 1.3.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 1.3.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{1}{2 \sqrt{x^{1}}}$

Paso 1.3.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Paso 1.3.2

Establece el denominador en $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$2 \sqrt{x} = 0$

Paso 1.3.3

Resuelve $x$

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Paso 1.3.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(2 \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.2.2.1

Simplifica ${(2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$4 x^{1} = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.2.1.4

Simplifica.

$4 x = 0^{2}$

Paso 1.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$4 x = 0$

Paso 1.3.3.3

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 1.3.3.3.1

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 1.3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 1.3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 1.3.3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Paso 1.3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.3.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x = 0$

Paso 1.3.4

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ menor que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x < 0$

Paso 1.3.5

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Paso 1.4

Evalúa $\sqrt{x}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 1.4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 1.4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\sqrt{0}$

Paso 1.4.1.2

Simplifica.

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Paso 1.4.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$\sqrt{0}$

Paso 1.4.1.2.2

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Paso 1.4.1.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$0$

Paso 1.4.2

Enumera todos los puntos.

$(0, 0)$

Paso 2

Excluye los puntos que no están en el intervalo.

Paso 3

Evalúa en los extremos incluidos.

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Paso 3.1

Evalúa en $x = 4$ .

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Paso 3.1.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$\sqrt{4}$

Paso 3.1.2

Simplifica.

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Paso 3.1.2.1

Elimina los paréntesis.

$\sqrt{4}$

Paso 3.1.2.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2}}$

Paso 3.1.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$2$

Paso 3.2

Evalúa en $x = 9$ .

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Paso 3.2.1

Sustituye $9$ por $x$ .

$\sqrt{9}$

Paso 3.2.2

Simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Elimina los paréntesis.

$\sqrt{9}$

Paso 3.2.2.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2}}$

Paso 3.2.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$3$

Paso 3.3

Enumera todos los puntos.

$(4, 2), (9, 3)$

Paso 4

Compara los valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar el máximo y el mínimo absolutos en el intervalo dado. El máximo ocurrirá en el valor más alto de $f (x)$ y el mínimo ocurrirá en el valor más bajo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(9, 3)$

Mínimo absoluto: $(4, 2)$

Paso 5