Cálculo Ejemplos

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 1

Escribe $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ como una función.

$f (x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Paso 4

Sea $u = 1 + x^{2}$ . Entonces $d u = 2 x d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = 1 + x^{2}$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Paso 4.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Paso 4.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Paso 4.1.5

Suma $0$ y $2 x$ .

$2 x$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Paso 5.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Paso 6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Paso 7

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Paso 7.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Paso 7.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 7.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Paso 7.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Paso 7.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Reescribe $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.2.2

Reescribe la expresión.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9.2.3

Multiplica $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2}$ .

${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 11

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$F (x) =$ ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C$