Cálculo Ejemplos

$y = (5 x^{2} - 3) (7 x^{3} + x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = 5 x^{2} - 3$ y $g (x) = 7 x^{3} + x$ .

$(5 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [7 x^{3} + x] + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Paso 1.2

Diferencia.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $7 x^{3} + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Paso 1.2.2

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7 x^{3}$ con respecto a $x$ es $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(5 x^{2} - 3) (7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Paso 1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$(5 x^{2} - 3) (7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Paso 1.2.4

Multiplica $3$ por $7$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + \frac{d}{d x} [x]) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Paso 1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3]$

Paso 1.2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 1.2.7

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 1.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 1.2.9

Multiplica $2$ por $5$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x + \frac{d}{d x} [- 3])$

Paso 1.2.10

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x + 0)$

Paso 1.2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.11.1

Suma $10 x$ y $0$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (7 x^{3} + x) (10 x)$

Paso 1.2.11.2

Mueve $10$ a la izquierda de $7 x^{3} + x$ .

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + 10 \cdot (7 x^{3} + x) x$

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + 10 \cdot (7 x^{3} + x) x$

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + 10 \cdot (7 x^{3} + x) x$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + (10 (7 x^{3}) + 10 x) x$

Paso 1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2} + 1) + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Paso 1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(5 x^{2} - 3) (21 x^{2}) + (5 x^{2} - 3) \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Paso 1.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} (21 x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + (5 x^{2} - 3) \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Paso 1.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x^{2} (21 x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Paso 1.3.6

Combina los términos.

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Paso 1.3.6.1

Multiplica $21$ por $5$ .

$105 x^{2} x^{2} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Paso 1.3.6.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.6.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$105 (x^{2} x^{2}) - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Paso 1.3.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$105 x^{2 + 2} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Paso 1.3.6.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$105 x^{4} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

$105 x^{4} - 3 (21 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Paso 1.3.6.3

Multiplica $21$ por $- 3$ .

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Paso 1.3.6.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} - 3 \cdot 1 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Paso 1.3.6.5

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$105 x^{4} - 63 x^{2} + 5 x^{2} - 3 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Paso 1.3.6.6

Suma $- 63 x^{2}$ y $5 x^{2}$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 10 (7 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Paso 1.3.6.7

Multiplica $7$ por $10$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{3} x + 10 x \cdot x$

Paso 1.3.6.8

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 (x^{1} x^{3}) + 10 x \cdot x$

Paso 1.3.6.9

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{1 + 3} + 10 x \cdot x$

Paso 1.3.6.10

Suma $1$ y $3$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x \cdot x$

Paso 1.3.6.11

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 (x^{1} x)$

Paso 1.3.6.12

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 (x^{1} x^{1})$

Paso 1.3.6.13

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x^{1 + 1}$

Paso 1.3.6.14

Suma $1$ y $1$ .

$105 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 70 x^{4} + 10 x^{2}$

Paso 1.3.6.15

Suma $105 x^{4}$ y $70 x^{4}$ .

$175 x^{4} - 58 x^{2} - 3 + 10 x^{2}$

Paso 1.3.6.16

Suma $- 58 x^{2}$ y $10 x^{2}$ .

$f' (x) = 175 x^{4} - 48 x^{2} - 3$

$f' (x) = 175 x^{4} - 48 x^{2} - 3$

$f' (x) = 175 x^{4} - 48 x^{2} - 3$

$f' (x) = 175 x^{4} - 48 x^{2} - 3$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $175 x^{4} - 48 x^{2} - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [175 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [175 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [175 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $175$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $175 x^{4}$ con respecto a $x$ es $175 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$175 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$175 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $175$ .

$700 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

$700 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $- 48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 48 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$700 x^{3} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$700 x^{3} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.3.3

Multiplica $2$ por $- 48$ .

$700 x^{3} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

$700 x^{3} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.4.1

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$700 x^{3} - 96 x + 0$

Paso 2.4.2

Suma $700 x^{3} - 96 x$ y $0$ .

$f'' (x) = 700 x^{3} - 96 x$

$f'' (x) = 700 x^{3} - 96 x$

$f'' (x) = 700 x^{3} - 96 x$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$