Cálculo Ejemplos

$\int_{- 5}^{9} \frac{2 {(2 x + 9)}^{\frac{1}{3}}}{3} d x$

Paso 1

Dado que $\frac{2}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{2}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} \int_{- 5}^{9} {(2 x + 9)}^{\frac{1}{3}} d x$

Paso 2

Sea $u = 2 x + 9$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 2 x + 9$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 x + 9$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 9]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [9]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $2$ y $0$ .

$2$

Paso 2.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x + 9$ .

$u_{lower} = 2 \cdot - 5 + 9$

Paso 2.3

Simplifica.

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Paso 2.3.1

Multiplica $2$ por $- 5$ .

$u_{lower} = - 10 + 9$

Paso 2.3.2

Suma $- 10$ y $9$ .

$u_{lower} = - 1$

Paso 2.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x + 9$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 9 + 9$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica $2$ por $9$ .

$u_{upper} = 18 + 9$

Paso 2.5.2

Suma $18$ y $9$ .

$u_{upper} = 27$

Paso 2.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = 27$

Paso 2.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} \frac{1}{2} d u$

Paso 3

Combina $u^{\frac{1}{3}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{3} \int_{- 1}^{27} \frac{u^{\frac{1}{3}}}{2} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{2} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{2}{6} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 5.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 5.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \int_{- 1}^{27} u^{\frac{1}{3}} d u$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $u$ es $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{3} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{27}$

Paso 7

Sustituye y simplifica.

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Paso 7.1

Evalúa $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ en $27$ y en $- 1$ .

$\frac{1}{3} ((\frac{3}{4} \cdot 27^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2

Simplifica.

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Paso 7.2.1

Reescribe $27$ como $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot {(3^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 3^{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.4

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{4} \cdot 81 - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.5

Combina $\frac{3}{4}$ y $81$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 81}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.6

Multiplica $3$ por $81$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.7

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Paso 7.2.8

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Paso 7.2.9

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 7.2.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Paso 7.2.9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} {(- 1)}^{4})$

Paso 7.2.10

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Paso 7.2.11

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{3} (\frac{243}{4} - \frac{3}{4})$

Paso 7.2.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{243 - 3}{4}$

Paso 7.2.13

Resta $3$ de $243$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{240}{4}$

Paso 7.2.14

Cancela el factor común de $240$ y $4$ .

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Paso 7.2.14.1

Factoriza $4$ de $240$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4}$

Paso 7.2.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.14.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4 (1)}$

Paso 7.2.14.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4 \cdot 60}{4 \cdot 1}$

Paso 7.2.14.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{60}{1}$

Paso 7.2.14.2.4

Divide $60$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 60$

Paso 7.2.15

Combina $\frac{1}{3}$ y $60$ .

$\frac{60}{3}$

Paso 7.2.16

Cancela el factor común de $60$ y $3$ .

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Paso 7.2.16.1

Factoriza $3$ de $60$ .

$\frac{3 \cdot 20}{3}$

Paso 7.2.16.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.2.16.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 20}{3 (1)}$

Paso 7.2.16.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 20}{3 \cdot 1}$

Paso 7.2.16.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{20}{1}$

Paso 7.2.16.2.4

Divide $20$ por $1$ .

$20$

Paso 8