Cálculo Ejemplos

$\frac{d}{d x} (arcsec (\sin (x)))$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = arcsec (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.2

La derivada de $arcsec (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}} \cos (x)$

Paso 3

Combina $\frac{1}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \sqrt{\sin^{2} (x) - 1}}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reordena los términos.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\sin^{2} (x) - 1} \sin (x)}$

Paso 4.2

Reordena $\sin^{2} (x)$ y $- 1$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 + \sin^{2} (x)} \sin (x)}$

Paso 4.3

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1) + \sin^{2} (x)} \sin (x)}$

Paso 4.4

Factoriza $- 1$ de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Paso 4.5

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- 1 (1 - \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Paso 4.6

Reescribe $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ como $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- (1 - \sin^{2} (x))} \sin (x)}$

Paso 4.7

Aplica la identidad pitagórica.

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{- \cos^{2} (x)} \sin (x)}$

Paso 4.8

Simplifica el denominador.

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Paso 4.8.1

Reordena $- 1$ y $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sqrt{\cos^{2} (x) \cdot - 1} \sin (x)}$

Paso 4.8.2

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) \sqrt{- 1} \sin (x)}$

Paso 4.8.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) i \sin (x)}$

Paso 4.9

Cancela el factor común de $\cos (x)$ .

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Paso 4.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) i \sin (x)}$

Paso 4.9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{i \sin (x)}$

Paso 4.10

Separa las fracciones.

$\frac{1}{i} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Paso 4.11

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\frac{1}{i} \csc (x)$

Paso 4.12

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{1}{i}$ por el conjugado de $i$ para hacer real el denominador.

$\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i} \csc (x)$

Paso 4.13

Multiplica.

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Paso 4.13.1

Combinar.

$\frac{1 i}{i i} \csc (x)$

Paso 4.13.2

Multiplica $i$ por $1$ .

$\frac{i}{i i} \csc (x)$

Paso 4.13.3

Simplifica el denominador.

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Paso 4.13.3.1

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i} \csc (x)$

Paso 4.13.3.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{i}{i^{1} i^{1}} \csc (x)$

Paso 4.13.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{i}{i^{1 + 1}} \csc (x)$

Paso 4.13.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{i}{i^{2}} \csc (x)$

Paso 4.13.3.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{i}{- 1} \csc (x)$

Paso 4.14

Mueve el negativo del denominador de $\frac{i}{- 1}$ .

$- 1 \cdot i \csc (x)$

Paso 4.15

Reescribe $- 1 \cdot i$ como $- i$ .

$- i \csc (x)$