Cálculo Ejemplos

$y = 12 \sin (w t + π)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Como $12$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $12 \sin (w t + π)$ con respecto a $w$ es $12 \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$ .

$12 \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ es $f' (g (w)) g' (w)$ donde $f (w) = \sin (w)$ y $g (w) = w t + π$ .

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Paso 1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $w t + π$ .

$12 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Paso 1.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$12 (\cos (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Paso 1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $w t + π$ .

$12 (\cos (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $w t + π$ con respecto a $w$ es $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$12 \cos (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π])$

Paso 1.3.2

Como $t$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $w t$ con respecto a $w$ es $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$12 \cos (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π])$

Paso 1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$12 \cos (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π])$

Paso 1.3.4

Multiplica $t$ por $1$ .

$12 \cos (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π])$

Paso 1.3.5

Como $π$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $π$ con respecto a $w$ es $0$ .

$12 \cos (w t + π) (t + 0)$

Paso 1.3.6

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.6.1

Suma $t$ y $0$ .

$12 \cos (w t + π) t$

Paso 1.3.6.2

Reordena los factores de $12 \cos (w t + π) t$ .

$f' (w) = 12 t \cos (w t + π)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $12 t$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $12 t \cos (w t + π)$ con respecto a $w$ es $12 t \frac{d}{d w} [\cos (w t + π)]$ .

$12 t \frac{d}{d w} [\cos (w t + π)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ es $f' (g (w)) g' (w)$ donde $f (w) = \cos (w)$ y $g (w) = w t + π$ .

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Paso 2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $w t + π$ .

$12 t (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Paso 2.2.2

La derivada de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $- \sin (u)$ .

$12 t (- \sin (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Paso 2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $w t + π$ .

$12 t (- \sin (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Paso 2.3

Diferencia.

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Paso 2.3.1

Multiplica $- 1$ por $12$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $w t + π$ con respecto a $w$ es $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]))$

Paso 2.3.3

Como $t$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $w t$ con respecto a $w$ es $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π]))$

Paso 2.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π]))$

Paso 2.3.5

Multiplica $t$ por $1$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π]))$

Paso 2.3.6

Como $π$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $π$ con respecto a $w$ es $0$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) (t + 0))$

Paso 2.3.7

Suma $t$ y $0$ .

$- 12 t (\sin (w t + π) t)$

Paso 2.4

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$- 12 (t^{1} t) \sin (w t + π)$

Paso 2.5

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$- 12 (t^{1} t^{1}) \sin (w t + π)$

Paso 2.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 12 t^{1 + 1} \sin (w t + π)$

Paso 2.7

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (w) = - 12 t^{2} \sin (w t + π)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $- 12 t^{2}$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $- 12 t^{2} \sin (w t + π)$ con respecto a $w$ es $- 12 t^{2} \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$ .

$- 12 t^{2} \frac{d}{d w} [\sin (w t + π)]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ es $f' (g (w)) g' (w)$ donde $f (w) = \sin (w)$ y $g (w) = w t + π$ .

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Paso 3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $w t + π$ .

$- 12 t^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d w} [w t + π])$

Paso 3.2.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$- 12 t^{2} (\cos (u) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Paso 3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $w t + π$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) \frac{d}{d w} [w t + π])$

Paso 3.3

Diferencia.

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Paso 3.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $w t + π$ con respecto a $w$ es $\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (\frac{d}{d w} [w t] + \frac{d}{d w} [π]))$

Paso 3.3.2

Como $t$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $w t$ con respecto a $w$ es $t \frac{d}{d w} [w]$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t \frac{d}{d w} [w] + \frac{d}{d w} [π]))$

Paso 3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ es $n w^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t \cdot 1 + \frac{d}{d w} [π]))$

Paso 3.3.4

Multiplica $t$ por $1$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t + \frac{d}{d w} [π]))$

Paso 3.3.5

Como $π$ es constante con respecto a $w$ , la derivada de $π$ con respecto a $w$ es $0$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) (t + 0))$

Paso 3.3.6

Suma $t$ y $0$ .

$- 12 t^{2} (\cos (w t + π) t)$

Paso 3.4

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$- 12 (t^{1} t^{2}) \cos (w t + π)$

Paso 3.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 12 t^{1 + 2} \cos (w t + π)$

Paso 3.6

Suma $1$ y $2$ .

$f''' (w) = - 12 t^{3} \cos (w t + π)$