Cálculo Ejemplos

$\int_{5}^{8} \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 16}} d x$

Paso 1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$\int_{5}^{8} \frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4^{2}}} d x$

Paso 2

La integral de $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} - 4^{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{4} arcsec (| \frac{x}{4} |)$ .

$\frac{1}{4} arcsec (| \frac{x}{4} |)]_{5}^{8}$

Paso 3

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $arcsec (| \frac{x}{4} |)$ .

$\frac{arcsec (| \frac{x}{4} |)}{4}]_{5}^{8}$

Paso 3.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.2.1

Evalúa $\frac{arcsec (| \frac{x}{4} |)}{4}$ en $8$ y en $5$ .

$(\frac{arcsec (| \frac{8}{4} |)}{4}) - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $8$ y $4$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$\frac{arcsec (| \frac{4 \cdot 2}{4} |)}{4} - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Paso 3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{arcsec (| \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} |)}{4} - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Paso 3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{arcsec (| \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} |)}{4} - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Paso 3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{arcsec (| \frac{2}{1} |)}{4} - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Paso 3.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{arcsec (| 2 |)}{4} - \frac{arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{arcsec (| 2 |) - arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\frac{arcsec (2) - arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Paso 3.3.2.2

El valor exacto de $arcsec (2)$ es $\frac{π}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - arcsec (| \frac{5}{4} |)}{4}$

Paso 3.3.2.3

$\frac{5}{4}$ es aproximadamente $1.25$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{\frac{π}{3} - arcsec (\frac{5}{4})}{4}$

Paso 3.3.2.4

Evalúa $arcsec (\frac{5}{4})$ .

$\frac{\frac{π}{3} - 1 \cdot 0.6435011}{4}$

Paso 3.3.2.5

Multiplica $- 1$ por $0.6435011$ .

$\frac{\frac{π}{3} - 0.6435011}{4}$

Paso 3.3.3

Resta $0.6435011$ de $\frac{π}{3}$ .

$\frac{0.40369644}{4}$

Paso 3.3.4

Divide $0.40369644$ por $4$ .

$0.10092411$

Paso 4