Cálculo Ejemplos

$2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Paso 1

Escribe $2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$ como una función.

$f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int 2 \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Paso 4

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 \int \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Paso 5

Sea $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Entonces $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , de modo que $2 d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Paso 5.1.2

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Multiplica por la recíproca de la fracción para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Paso 6.3

Mueve $2$ a la izquierda de $\sin^{2} (u_{1})$ .

$2 \int 2 \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 7

Dado que $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 (2 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Paso 8

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Paso 9

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$4 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$4 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 11

Simplifica.

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Paso 11.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$\frac{4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 11.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 11.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 11.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 11.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 11.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 11.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Paso 12

Divide la única integral en varias integrales.

$2 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 13

Aplica la regla de la constante.

$2 (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 14

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$2 (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Paso 15

Sea $u_{2} = 2 u_{1}$ . Entonces $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 15.1

Deja $u_{2} = 2 u_{1}$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 15.1.1

Diferencia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Paso 15.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $u_{1}$ , la derivada de $2 u_{1}$ con respecto a $u_{1}$ es $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Paso 15.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 15.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 15.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Paso 16

Combina $\cos (u_{2})$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Paso 17

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{2}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$2 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Paso 18

La integral de $\cos (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sin (u_{2})$ .

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Paso 19

Simplifica.

$2 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 20

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 20.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Paso 20.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Paso 20.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

Paso 21

Simplifica.

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Paso 21.1

Simplifica cada término.

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Paso 21.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 21.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

Paso 21.1.1.2

Reescribe la expresión.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (x)) + C$

Paso 21.1.2

Combina $\sin (x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Paso 21.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Paso 21.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 21.3.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Paso 21.3.2

Reescribe la expresión.

$x + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Paso 21.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 21.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sin (x)}{2}$ al numerador.

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

Paso 21.4.2

Cancela el factor común.

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

Paso 21.4.3

Reescribe la expresión.

$x - \sin (x) + C$

Paso 22

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $x - \sin (x) + C$