Cálculo Ejemplos

$\cos^{5} (x)$

Paso 1

Escribe $\cos^{5} (x)$ como una función.

$f (x) = \cos^{5} (x)$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \cos^{5} (x) d x$

Paso 4

Factoriza $\cos^{4} (x)$ .

$\int \cos^{4} (x) \cos (x) d x$

Paso 5

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 5.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\int {\cos (x)}^{2 (2)} \cos (x) d x$

Paso 5.2

Reescribe ${\cos (x)}^{2 (2)}$ como exponenciación.

$\int {(\cos^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Paso 6

Mediante la identidad pitagórica, reescribe $\cos^{2} (x)$ como $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \sin^{2} (x))}^{2} \cos (x) d x$

Paso 7

Sea $u = \sin (x)$ . Entonces $d u = \cos (x) d x$ , de modo que $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 7.1

Deja $u = \sin (x)$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 7.1.1

Diferencia $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 7.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Paso 7.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Paso 8

Expande ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

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Paso 8.1

Reescribe ${(1 - u^{2})}^{2}$ como $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$\int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Paso 8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Paso 8.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Paso 8.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Paso 8.5

Mueve $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Paso 8.6

Mueve $u^{2}$ .

$\int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 8.7

Multiplica $1$ por $1$ .

$\int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 8.8

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 8.9

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 8.10

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Paso 8.11

Multiplica $u^{2}$ por $1$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Paso 8.12

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Paso 8.13

Suma $2$ y $2$ .

$\int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Paso 8.14

Resta $u^{2}$ de $- u^{2}$ .

$\int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Paso 8.15

Reordena $- 2 u^{2}$ y $u^{4}$ .

$\int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Paso 8.16

Mueve $1$ .

$\int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Paso 9

Divide la única integral en varias integrales.

$\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{4}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u$

Paso 11

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u$

Paso 12

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u$

Paso 13

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $u^{3}$ .

$\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C$

Paso 14.2

Simplifica.

$\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u + C$

Paso 15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{\sin^{5} (x)}{5} - \frac{2 \sin^{3} (x)}{3} + \sin (x) + C$

Paso 16

Reordena los términos.

$\frac{1}{5} \sin^{5} (x) - \frac{2}{3} \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$

Paso 17

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \cos^{5} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \sin^{5} (x) - \frac{2}{3} \sin^{3} (x) + \sin (x) + C$