Cálculo Ejemplos

$a^{3} y = x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$

Paso 1

Resta $x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$ de ambos lados de la ecuación.

$a^{3} y - x^{2} (2 a^{2} - x^{2}) = 0$

Paso 2

Simplifica cada término.

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a^{3} y - x^{2} (2 a^{2}) - x^{2} (- x^{2}) = 0$

Paso 2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a^{3} y - 1 \cdot 2 x^{2} a^{2} - x^{2} (- x^{2}) = 0$

Paso 2.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$a^{3} y - 1 \cdot 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} = 0$

Paso 2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.4.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) = 0$

Paso 2.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} = 0$

Paso 2.4.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4} = 0$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + 1 x^{4} = 0$

Paso 2.4.4

Multiplica $x^{4}$ por $1$ .

$a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4} = 0$

Paso 3

Obtén la primera derivada.

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Paso 3.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 3.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4}$ con respecto a $a$ es $\frac{d}{d a} [a^{3} y] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d a} [a^{3} y] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 3.1.2

Evalúa $\frac{d}{d a} [a^{3} y]$ .

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Paso 3.1.2.1

Como $y$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $a^{3} y$ con respecto a $a$ es $y \frac{d}{d a} [a^{3}]$ .

$y \frac{d}{d a} [a^{3}] + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 3.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$y (3 a^{2}) + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 3.1.2.3

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$3 y a^{2} + \frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 3.1.3

Evalúa $\frac{d}{d a} [- 2 x^{2} a^{2}]$ .

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Paso 3.1.3.1

Como $- 2 x^{2}$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $- 2 x^{2} a^{2}$ con respecto a $a$ es $- 2 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{2}]$ .

$3 y a^{2} - 2 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 3.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ es $n a^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 y a^{2} - 2 x^{2} (2 a) + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a + \frac{d}{d a} [x^{4}]$

Paso 3.1.4

Como $x^{4}$ es constante con respecto a $a$ , la derivada de $x^{4}$ con respecto a $a$ es $0$ .

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a + 0$

Paso 3.1.5

Simplifica.

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Paso 3.1.5.1

Suma $3 y a^{2} - 4 x^{2} a$ y $0$ .

$3 y a^{2} - 4 x^{2} a$

Paso 3.1.5.2

Reordena los términos.

$f' (a) = 3 a^{2} y - 4 x^{2} a$

Paso 3.2

La primera derivada de $f (a)$ con respecto a $a$ es $3 a^{2} y - 4 x^{2} a$ .

$3 a^{2} y - 4 x^{2} a$

Paso 4

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 a^{2} y - 4 x^{2} a = 0$ .

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Paso 4.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 a^{2} y - 4 x^{2} a = 0$

Paso 4.2

Factoriza $a$ de $3 a^{2} y - 4 x^{2} a$ .

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Paso 4.2.1

Factoriza $a$ de $3 a^{2} y$ .

$a (3 a y) - 4 x^{2} a = 0$

Paso 4.2.2

Factoriza $a$ de $- 4 x^{2} a$ .

$a (3 a y) + a (- 4 x^{2}) = 0$

Paso 4.2.3

Factoriza $a$ de $a (3 a y) + a (- 4 x^{2})$ .

$a (3 a y - 4 x^{2}) = 0$

Paso 4.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$a = 0$

$3 a y - 4 x^{2} = 0$

Paso 4.4

Establece $a$ igual a $0$ .

$a = 0$

Paso 4.5

Establece $3 a y - 4 x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $a$ .

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Paso 4.5.1

Establece $3 a y - 4 x^{2}$ igual a $0$ .

$3 a y - 4 x^{2} = 0$

Paso 4.5.2

Resuelve $3 a y - 4 x^{2} = 0$ en $a$ .

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Paso 4.5.2.1

Suma $4 x^{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$3 a y = 4 x^{2}$

Paso 4.5.2.2

Divide cada término en $3 a y = 4 x^{2}$ por $3 y$ y simplifica.

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Paso 4.5.2.2.1

Divide cada término en $3 a y = 4 x^{2}$ por $3 y$ .

$\frac{3 a y}{3 y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Paso 4.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 4.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 a y}{3 y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Paso 4.5.2.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a y}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Paso 4.5.2.2.2.2

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 4.5.2.2.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{a y}{y} = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Paso 4.5.2.2.2.2.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Paso 4.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $a (3 a y - 4 x^{2}) = 0$ verdadera.

$a = 0$

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

$a = 0$

$a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$

Paso 5

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 5.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 6

Evalúa $a^{3} y - 2 x^{2} a^{2} + x^{4}$ en cada valor $a$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 6.1

Evalúa en $a = 0$ .

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Paso 6.1.1

Sustituye $0$ por $a$ .

${(0)}^{3} y - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

Paso 6.1.2

Simplifica.

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Paso 6.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 y - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

Paso 6.1.2.1.2

Multiplica $0$ por $y$ .

$0 - 2 x^{2} {(0)}^{2} + x^{4}$

Paso 6.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - 2 x^{2} \cdot 0 + x^{4}$

Paso 6.1.2.1.4

Multiplica $- 2 x^{2} \cdot 0$ .

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Paso 6.1.2.1.4.1

Multiplica $0$ por $- 2$ .

$0 + 0 x^{2} + x^{4}$

Paso 6.1.2.1.4.2

Multiplica $0$ por $x^{2}$ .

$0 + 0 + x^{4}$

Paso 6.1.2.2

Combina los términos opuestos en $0 + 0 + x^{4}$ .

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Paso 6.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + x^{4}$

Paso 6.1.2.2.2

Suma $0$ y $x^{4}$ .

$x^{4}$

Paso 6.2

Evalúa en $a = \frac{4 x^{2}}{3 y}$ .

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Paso 6.2.1

Sustituye $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ por $a$ .

${(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{3} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Paso 6.2.2

Simplifica.

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Paso 6.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ .

$\frac{{(4 x^{2})}^{3}}{{(3 y)}^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $4 x^{2}$ .

$\frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{{(3 y)}^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.1.3

Aplica la regla del producto a $3 y$ .

$\frac{4^{3} {(x^{2})}^{3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.1.2.1

Eleva $4$ a la potencia de $3$ .

$\frac{64 {(x^{2})}^{3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{3}$ .

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Paso 6.2.2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 x^{2 \cdot 3}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.2.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{64 x^{6}}{3^{3} y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.3

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{3}} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.4

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 6.2.2.1.4.1

Factoriza $y$ de $27 y^{3}$ .

$\frac{64 x^{6}}{y (27 y^{2})} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{64 x^{6}}{y (27 y^{2})} y - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} {(\frac{4 x^{2}}{3 y})}^{2} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.5

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 6.2.2.1.5.1

Aplica la regla del producto a $\frac{4 x^{2}}{3 y}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{{(4 x^{2})}^{2}}{{(3 y)}^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.5.2

Aplica la regla del producto a $4 x^{2}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{4^{2} {(x^{2})}^{2}}{{(3 y)}^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.5.3

Aplica la regla del producto a $3 y$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{4^{2} {(x^{2})}^{2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.1.6.1

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 {(x^{2})}^{2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.6.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 6.2.2.1.6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{2 \cdot 2}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.6.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{3^{2} y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.7

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{9 y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.8

Multiplica $- 2 x^{2} \frac{16 x^{4}}{9 y^{2}}$ .

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Paso 6.2.2.1.8.1

Combina $- 2$ y $\frac{16 x^{4}}{9 y^{2}}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{2} \frac{- 2 (16 x^{4})}{9 y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.8.2

Multiplica $16$ por $- 2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{2} \frac{- 32 x^{4}}{9 y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.8.3

Combina $x^{2}$ y $\frac{- 32 x^{4}}{9 y^{2}}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{2} (- 32 x^{4})}{9 y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.8.4

Multiplica $x^{2}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.2.1.8.4.1

Mueve $x^{4}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{4} x^{2} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.8.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{4 + 2} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.8.4.3

Suma $4$ y $2$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{x^{6} \cdot - 32}{9 y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.9

Mueve $- 32$ a la izquierda de $x^{6}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} + \frac{- 32 \cdot x^{6}}{9 y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.1.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.2

Para escribir $- \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6}}{9 y^{2}} \cdot \frac{3}{3} + x^{4}$

Paso 6.2.2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $27 y^{2}$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 6.2.2.3.1

Multiplica $\frac{32 x^{6}}{9 y^{2}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6} \cdot 3}{9 y^{2} \cdot 3} + x^{4}$

Paso 6.2.2.3.2

Multiplica $3$ por $9$ .

$\frac{64 x^{6}}{27 y^{2}} - \frac{32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{64 x^{6} - 32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.5

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.2.5.1.1

Factoriza $32 x^{6}$ de $64 x^{6} - 32 x^{6} \cdot 3$ .

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Paso 6.2.2.5.1.1.1

Factoriza $32 x^{6}$ de $64 x^{6}$ .

$\frac{32 x^{6} (2) - 32 x^{6} \cdot 3}{27 y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.5.1.1.2

Factoriza $32 x^{6}$ de $- 32 x^{6} \cdot 3$ .

$\frac{32 x^{6} (2) + 32 x^{6} (- 1 \cdot 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.5.1.1.3

Factoriza $32 x^{6}$ de $32 x^{6} (2) + 32 x^{6} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{32 x^{6} (2 - 1 \cdot 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.5.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{32 x^{6} (2 - 3)}{27 y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.5.1.3

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{32 x^{6} \cdot - 1}{27 y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.5.1.4

Multiplica $- 1$ por $32$ .

$\frac{- 32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.2.2.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4}$

Paso 6.3

Enumera todos los puntos.

$(0, x^{4}), (\frac{4 x^{2}}{3 y}, - \frac{32 x^{6}}{27 y^{2}} + x^{4})$

Paso 7