Cálculo Ejemplos

$\int \frac{5 x}{4 x + 4 x^{2}} d x$

Paso 1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int \frac{x}{4 x + 4 x^{2}} d x$

Paso 2

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Factoriza la fracción.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x + 4 x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.1.1

Factoriza $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{x}{4 x (1) + 4 x^{2}}$

Paso 2.1.1.1.2

Factoriza $4 x$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{x}{4 x (1) + 4 x (x)}$

Paso 2.1.1.1.3

Factoriza $4 x$ de $4 x (1) + 4 x (x)$ .

$\frac{x}{4 x (1 + x)}$

Paso 2.1.1.2

Reduce la expresión $\frac{x}{4 x (1 + x)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x}{4 x (1 + x)}$

Paso 2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{4 (1 + x)}$

Paso 2.1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Paso 2.1.3

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $4 (1 + x)$ .

$\frac{1 (4 (1 + x))}{4 (1 + x)} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Paso 2.1.4

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (4 (1 + x))}{4 (1 + x)} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Paso 2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (1 + x)}{1 + x} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Paso 2.1.5

Cancela el factor común de $1 + x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{1 (1 + x)}{1 + x} = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Paso 2.1.5.2

Reescribe la expresión.

$1 = \frac{(A) (4 (1 + x))}{1 + x}$

Paso 2.1.6

Cancela el factor común de $1 + x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.6.1

Cancela el factor común.

$1 = \frac{A (4 (1 + x))}{1 + x}$

Paso 2.1.6.2

Divide $(A) \cdot (4)$ por $1$ .

$1 = (A) \cdot (4)$

Paso 2.1.7

Mueve $4$ a la izquierda de $A$ .

$1 = 4 A$

Paso 2.2

Resuelve el sistema de ecuaciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.1

Reescribe la ecuación como $4 A = 1$ .

$4 A = 1$

Paso 2.2.2

Divide cada término en $4 A = 1$ por $4$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.1

Divide cada término en $4 A = 1$ por $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 2.2.2.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{4}$

Paso 2.3

Replace each of the partial fraction coefficients in $\frac{A}{1 + x}$ with the values found for and $A$ .

$\frac{\frac{1}{4}}{1 + x}$

Paso 2.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.4.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1 + x}$

Paso 2.4.2

Multiplica $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{1 + x}$ .

$5 \int \frac{1}{4 (1 + x)} d x$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{4}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{4}$ fuera de la integral.

$5 (\frac{1}{4} \int \frac{1}{1 + x} d x)$

Paso 4

Combina $\frac{1}{4}$ y $5$ .

$\frac{5}{4} \int \frac{1}{1 + x} d x$

Paso 5

Sea $u = 1 + x$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Deja $u = 1 + x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1.1

Diferencia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$0 + 1$

Paso 5.1.5

Suma $0$ y $1$ .

$1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{5}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{4} (\ln (| u |) + C)$

Paso 7

Simplifica.

$\frac{5}{4} \ln (| u |) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x$ .

$\frac{5}{4} \ln (| 1 + x |) + C$