Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \infty} {(\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 3 x + 2})}^{4}$

Paso 1

Mueve el exponente $4$ de ${(\frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 3 x + 2})}^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

${(lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 3 x + 2})}^{4}$

Paso 2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x^{2}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

${lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Paso 3.1.1.2

Divide $3$ por $1$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Paso 3.1.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 3.1.2.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Paso 3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Paso 3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Paso 3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Paso 3.2.1.2

Reescribe la expresión.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{- 3 x}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1

Factoriza $x$ de $- 3 x$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 3}{x^{2}} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Paso 3.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Paso 3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Paso 3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{- 3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Paso 3.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

${lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}}}^{4}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

${(\frac{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Paso 3.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

${(\frac{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Paso 3.5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

${(\frac{3 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Paso 3.6

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

${(\frac{3 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Paso 4

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Paso 5

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Paso 6

Evalúa el límite.

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Paso 6.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Paso 6.2

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{3}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Paso 6.3

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{1 - 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Paso 7

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{1 - 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}}})}^{4}$

Paso 8

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{1 - 3 \cdot 0 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}})}^{4}$

Paso 9

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

${(\frac{3 + 2 \cdot 0 + 0}{1 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0})}^{4}$

Paso 10

Simplifica la respuesta.

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Paso 10.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.1.1

Multiplica $2$ por $0$ .

${(\frac{3 + 0 + 0}{1 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0})}^{4}$

Paso 10.1.2

Suma $3 + 0$ y $0$ .

${(\frac{3 + 0}{1 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0})}^{4}$

Paso 10.1.3

Suma $3$ y $0$ .

${(\frac{3}{1 - 3 \cdot 0 + 2 \cdot 0})}^{4}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.1

Multiplica $- 3$ por $0$ .

${(\frac{3}{1 + 0 + 2 \cdot 0})}^{4}$

Paso 10.2.2

Multiplica $2$ por $0$ .

${(\frac{3}{1 + 0 + 0})}^{4}$

Paso 10.2.3

Suma $1 + 0$ y $0$ .

${(\frac{3}{1 + 0})}^{4}$

Paso 10.2.4

Suma $1$ y $0$ .

${(\frac{3}{1})}^{4}$

Paso 10.3

Divide $3$ por $1$ .

$3^{4}$

Paso 10.4

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$81$