Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Paso 1

Escribe $\frac{1}{x \sqrt{x}} d x$ como una función.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}} d x$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x}} \cdot (d x) d x$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{x \cdot x^{\frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Paso 4.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 4.2.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\int \frac{1}{x^{1} x^{\frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Paso 4.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{1}{x^{1 + \frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Paso 4.2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Paso 4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 + 1}{2}}} \cdot (d x) d x$

Paso 4.2.4

Suma $2$ y $1$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot (d x) d x$

Paso 4.3

Combina $d$ y $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot x d x$

Paso 4.4

Combina $\frac{d}{x^{\frac{3}{2}}}$ y $x$ .

$\int \frac{d x}{x^{\frac{3}{2}}} d x$

Paso 4.5

Mueve $x^{1}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}} d x$

Paso 4.6

Multiplica $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{- 1}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.6.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} - 1}} d x$

Paso 4.6.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d x$

Paso 4.6.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d x$

Paso 4.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\int \frac{d}{x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} d x$

Paso 4.6.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.6.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{3 - 2}{2}}} d x$

Paso 4.6.5.2

Resta $2$ de $3$ .

$\int \frac{d}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 5

Dado que $d$ es constante con respecto a $x$ , mueve $d$ fuera de la integral.

$d \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Paso 6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 6.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$d \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Paso 6.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$d \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Paso 6.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$d \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Paso 6.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$d \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$d (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Paso 8

Simplifica la respuesta.

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Paso 8.1

Reescribe $d (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ como $d \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ .

$d \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 8.2

Mueve $2$ a la izquierda de $d$ .

$2 d x^{\frac{1}{2}} + C$

Paso 9

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x}} \cdot (d x)$ .

$F (x) =$ $2 d x^{\frac{1}{2}} + C$