Cálculo Ejemplos

$f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$

Paso 1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{5} x^{6}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $- \frac{2}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{2}{5} x^{6}$ con respecto a $x$ es $- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$- \frac{2}{5} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$- 6 (\frac{2}{5}) x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 1.1.2.4

Combina $- 6$ y $\frac{2}{5}$ .

$\frac{- 6 \cdot 2}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 1.1.2.5

Multiplica $- 6$ por $2$ .

$\frac{- 12}{5} x^{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 1.1.2.6

Combina $\frac{- 12}{5}$ y $x^{5}$ .

$\frac{- 12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 1.1.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{12 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{4}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$- \frac{12 x^{5}}{5} + 5 (4 x^{3})$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$f' (x) = - \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$

Paso 1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- \frac{12 x^{5}}{5} + 20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{12 x^{5}}{5}]$ .

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Paso 1.2.2.1

Como $- \frac{12}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{12 x^{5}}{5}$ con respecto a $x$ es $- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{12}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$- \frac{12}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 1.2.2.3

Multiplica $5$ por $- 1$ .

$- 5 (\frac{12}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 1.2.2.4

Combina $- 5$ y $\frac{12}{5}$ .

$\frac{- 5 \cdot 12}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 1.2.2.5

Multiplica $- 5$ por $12$ .

$\frac{- 60}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 1.2.2.6

Combina $\frac{- 60}{5}$ y $x^{4}$ .

$\frac{- 60 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 1.2.2.7

Cancela el factor común de $- 60$ y $5$ .

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Paso 1.2.2.7.1

Factoriza $5$ de $- 60 x^{4}$ .

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 1.2.2.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.2.7.2.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 1.2.2.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (- 12 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 1.2.2.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 12 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 1.2.2.7.2.4

Divide $- 12 x^{4}$ por $1$ .

$- 12 x^{4} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Paso 1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Paso 1.2.3.1

Como $20$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $20 x^{3}$ con respecto a $x$ es $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 12 x^{4} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Paso 1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$- 12 x^{4} + 20 (3 x^{2})$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $3$ por $20$ .

$f'' (x) = - 12 x^{4} + 60 x^{2}$

Paso 1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 12 x^{4} + 60 x^{2}$ .

$- 12 x^{4} + 60 x^{2}$

Paso 2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 12 x^{4} + 60 x^{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 12 x^{4} + 60 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 12 {(x^{2})}^{2} + 60 x^{2} = 0$

Paso 2.2.2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 12 u^{2} + 60 u = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $12 u$ de $- 12 u^{2} + 60 u$ .

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Paso 2.2.3.1

Factoriza $12 u$ de $- 12 u^{2}$ .

$12 u (- u) + 60 u = 0$

Paso 2.2.3.2

Factoriza $12 u$ de $60 u$ .

$12 u (- u) + 12 u (5) = 0$

Paso 2.2.3.3

Factoriza $12 u$ de $12 u (- u) + 12 u (5)$ .

$12 u (- u + 5) = 0$

Paso 2.2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$12 x^{2} (- x^{2} + 5) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 5 = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $- x^{2} + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $- x^{2} + 5$ igual a $0$ .

$- x^{2} + 5 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $- x^{2} + 5 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} = - 5$

Paso 2.5.2.2

Divide cada término en $- x^{2} = - 5$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 2.5.2.2.1

Divide cada término en $- x^{2} = - 5$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 5}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 5}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.2.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 5}{- 1}$

Paso 2.5.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.2.2.3.1

Divide $- 5$ por $- 1$ .

$x^{2} = 5$

Paso 2.5.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{5}$

Paso 2.5.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{5}$

Paso 2.5.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{5}$

Paso 2.5.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 x^{2} (- x^{2} + 5) = 0$ verdadera.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Paso 3

Obtén los puntos donde la segunda derivada es $0$ .

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Paso 3.1

Sustituye $0$ en $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = - \frac{2}{5} \cdot {(0)}^{6} + 5 {(0)}^{4}$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = - \frac{2}{5} \cdot 0 + 5 {(0)}^{4}$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $- \frac{2}{5} \cdot 0$ .

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Paso 3.1.2.1.2.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{2}{5}) + 5 {(0)}^{4}$

Paso 3.1.2.1.2.2

Multiplica $0$ por $\frac{2}{5}$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{4}$

Paso 3.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

Paso 3.1.2.1.4

Multiplica $5$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Paso 3.1.2.2

Suma $0$ y $0$ .

$f (0) = 0$

Paso 3.1.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 3.2

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $0$ en $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ es $(0, 0)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(0, 0)$

Paso 3.3

Sustituye $\sqrt{5}$ en $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $\sqrt{5}$ en la expresión.

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(\sqrt{5})}^{6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{5}}^{6}$ como $5^{3}$ .

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Paso 3.3.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.3.2.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{6}{2}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.3.2.1.1.4

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.3.2.1.1.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.1.1.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.3.2.1.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.3.2.1.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{3}{1}} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.3.2.1.1.4.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$f (\sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{5}$ al numerador.

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.3.2.1.2.2

Factoriza $5$ de $5^{3}$ .

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.3.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.3.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{2} + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.3.2.1.3

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (\sqrt{5}) = - 2 \cdot 25 + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.3.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $25$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 {(\sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.3.2.1.5

Reescribe ${\sqrt{5}}^{4}$ como $5^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Paso 3.3.2.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Paso 3.3.2.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{4}{2}}$

Paso 3.3.2.1.5.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 3.3.2.1.5.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Paso 3.3.2.1.5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.2.1.5.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Paso 3.3.2.1.5.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Paso 3.3.2.1.5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2}{1}}$

Paso 3.3.2.1.5.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

Paso 3.3.2.1.6

Multiplica $5$ por $5^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.6.1

Multiplica $5$ por $5^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.6.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $1$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

Paso 3.3.2.1.6.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5^{1 + 2}$

Paso 3.3.2.1.6.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 5^{3}$

Paso 3.3.2.1.7

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f (\sqrt{5}) = - 50 + 125$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 50$ y $125$ .

$f (\sqrt{5}) = 75$

Paso 3.3.2.3

La respuesta final es $75$ .

$75$

Paso 3.4

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $\sqrt{5}$ en $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ es $(\sqrt{5}, 75)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(\sqrt{5}, 75)$

Paso 3.5

Sustituye $- \sqrt{5}$ en $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ para obtener el valor de $y$ .

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Paso 3.5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \sqrt{5}$ en la expresión.

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(- \sqrt{5})}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot ({(- 1)}^{6} {\sqrt{5}}^{6}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{6}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.5.2.1.2.1

Mueve ${(- 1)}^{6}$ .

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6} \cdot (- 1 (\frac{2}{5})) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{6}$ por $- 1$ .

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Paso 3.5.2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6} \cdot ((- 1) (\frac{2}{5})) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{6 + 1} (\frac{2}{5}) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.2.3

Suma $6$ y $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = {(- 1)}^{7} (\frac{2}{5}) \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $7$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {\sqrt{5}}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.4

Reescribe ${\sqrt{5}}^{6}$ como $5^{3}$ .

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Paso 3.5.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot {(5^{\frac{1}{2}})}^{6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 6} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $6$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{6}{2}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.4.4

Cancela el factor común de $6$ y $2$ .

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Paso 3.5.2.1.4.4.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.4.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1.4.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.4.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.4.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{\frac{3}{1}} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.4.4.2.4

Divide $3$ por $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - \frac{2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.5

Cancela el factor común de $5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{5}$ al numerador.

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot 5^{3} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.5.2

Factoriza $5$ de $5^{3}$ .

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.5.3

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{5}) = \frac{- 2}{5} \cdot (5 \cdot 5^{2}) + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.5.4

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 5^{2} + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.6

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 2 \cdot 25 + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.7

Multiplica $- 2$ por $25$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {(- \sqrt{5})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.8

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{5}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{5}}^{4})$

Paso 3.5.2.1.9

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 (1 {\sqrt{5}}^{4})$

Paso 3.5.2.1.10

Multiplica ${\sqrt{5}}^{4}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {\sqrt{5}}^{4}$

Paso 3.5.2.1.11

Reescribe ${\sqrt{5}}^{4}$ como $5^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.11.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4}$

Paso 3.5.2.1.11.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4}$

Paso 3.5.2.1.11.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $4$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{4}{2}}$

Paso 3.5.2.1.11.4

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 3.5.2.1.11.4.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Paso 3.5.2.1.11.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.2.1.11.4.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Paso 3.5.2.1.11.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Paso 3.5.2.1.11.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{\frac{2}{1}}$

Paso 3.5.2.1.11.4.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

Paso 3.5.2.1.12

Multiplica $5$ por $5^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.12.1

Multiplica $5$ por $5^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.2.1.12.1.1

Eleva $5$ a la potencia de $1$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5 \cdot 5^{2}$

Paso 3.5.2.1.12.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5^{1 + 2}$

Paso 3.5.2.1.12.2

Suma $1$ y $2$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 5^{3}$

Paso 3.5.2.1.13

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$f (- \sqrt{5}) = - 50 + 125$

Paso 3.5.2.2

Suma $- 50$ y $125$ .

$f (- \sqrt{5}) = 75$

Paso 3.5.2.3

La respuesta final es $75$ .

$75$

Paso 3.6

El punto que se obtiene mediante la sustitución de $- \sqrt{5}$ en $f (x) = - \frac{2}{5} x^{6} + 5 x^{4}$ es $(- \sqrt{5}, 75)$ . Este puede ser un punto de inflexión.

$(- \sqrt{5}, 75)$

Paso 3.7

Determinar los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(0, 0), (\sqrt{5}, 75), (- \sqrt{5}, 75)$

Paso 4

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos alrededor de los puntos que podrían ser puntos de inflexión.

$(- \infty, - \sqrt{5}) \cup (- \sqrt{5}, 0) \cup (0, \sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, \infty)$

Paso 5

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \sqrt{5})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2.33606797$ en la expresión.

$f'' (- 2.33606797) = - 12 {(- 2.33606797)}^{4} + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1.1

Eleva $- 2.33606797$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 12 \cdot 29.78118022 + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 12$ por $29.78118022$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 60 {(- 2.33606797)}^{2}$

Paso 5.2.1.3

Eleva $- 2.33606797$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 60 \cdot 5.45721359$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $60$ por $5.45721359$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 357.37416272 + 327.43281572$

Paso 5.2.2

Suma $- 357.37416272$ y $327.43281572$ .

$f'' (- 2.33606797) = - 29.94134699$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 29.94134699$ .

$- 29.94134699$

Paso 5.3

En $- 2.33606797$ , la segunda derivada es $- 29.94134699$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(- \infty, - \sqrt{5})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \sqrt{5})$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \sqrt{5}, 0)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.11803398$ en la expresión.

$f'' (- 1.11803398) = - 12 {(- 1.11803398)}^{4} + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Eleva $- 1.11803398$ a la potencia de $4$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 12 \cdot 1.5625 + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 12$ por $1.5625$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 60 {(- 1.11803398)}^{2}$

Paso 6.2.1.3

Eleva $- 1.11803398$ a la potencia de $2$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 60 \cdot 1.25$

Paso 6.2.1.4

Multiplica $60$ por $1.25$ .

$f'' (- 1.11803398) = - 18.75 + 75$

Paso 6.2.2

Suma $- 18.75$ y $75$ .

$f'' (- 1.11803398) = 56.25$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $56.25$ .

$56.25$

Paso 6.3

En $- 1.11803398$ , la segunda derivada es $56.25$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(- \sqrt{5}, 0)$ .

Incremento en $(- \sqrt{5}, 0)$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(0, \sqrt{5})$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.11803398$ en la expresión.

$f'' (1.11803398) = - 12 {(1.11803398)}^{4} + 60 {(1.11803398)}^{2}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1.1

Eleva $1.11803398$ a la potencia de $4$ .

$f'' (1.11803398) = - 12 \cdot 1.5625 + 60 {(1.11803398)}^{2}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 12$ por $1.5625$ .

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 60 {(1.11803398)}^{2}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $1.11803398$ a la potencia de $2$ .

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 60 \cdot 1.25$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $60$ por $1.25$ .

$f'' (1.11803398) = - 18.75 + 75$

Paso 7.2.2

Suma $- 18.75$ y $75$ .

$f'' (1.11803398) = 56.25$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $56.25$ .

$56.25$

Paso 7.3

En $1.11803398$ , la segunda derivada es $56.25$ . Dado que esto es positivo, la segunda derivada aumenta en el intervalo $(0, \sqrt{5})$ .

Incremento en $(0, \sqrt{5})$ ya que $f'' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(\sqrt{5}, \infty)$ en la segunda derivada para determinar si está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $2.33606797$ en la expresión.

$f'' (2.33606797) = - 12 {(2.33606797)}^{4} + 60 {(2.33606797)}^{2}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Eleva $2.33606797$ a la potencia de $4$ .

$f'' (2.33606797) = - 12 \cdot 29.78118022 + 60 {(2.33606797)}^{2}$

Paso 8.2.1.2

Multiplica $- 12$ por $29.78118022$ .

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 60 {(2.33606797)}^{2}$

Paso 8.2.1.3

Eleva $2.33606797$ a la potencia de $2$ .

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 60 \cdot 5.45721359$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $60$ por $5.45721359$ .

$f'' (2.33606797) = - 357.37416272 + 327.43281572$

Paso 8.2.2

Suma $- 357.37416272$ y $327.43281572$ .

$f'' (2.33606797) = - 29.94134699$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 29.94134699$ .

$- 29.94134699$

Paso 8.3

En $2.33606797$ , la segunda derivada es $- 29.94134699$ . Dado que esto es negativo, la segunda derivada disminuye en el intervalo $(\sqrt{5}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\sqrt{5}, \infty)$ desde $f'' (x) < 0$

Paso 9

Un punto de inflexión es un punto en una curva en el que la concavidad cambia de signo de más a menos o de menos a más. Los puntos de inflexión en este caso son $(- \sqrt{5}, 75), (\sqrt{5}, 75)$ .

$(- \sqrt{5}, 75), (\sqrt{5}, 75)$

Paso 10