Cálculo Ejemplos

$3 x^{5} + 4 x^{4} - 18 x^{2} + 6 x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{5} + 4 x^{4} - 18 x^{2} + 6 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Paso 1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{5}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.2.3

Multiplica $5$ por $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Paso 1.3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{4}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$15 x^{4} + 4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.3.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$15 x^{4} + 16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

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Paso 1.4.1

Como $- 18$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 18 x^{2}$ con respecto a $x$ es $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 x^{4} + 16 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$15 x^{4} + 16 x^{3} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.4.3

Multiplica $2$ por $- 18$ .

$15 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x + \frac{d}{d x} [6 x]$

Paso 1.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Paso 1.5.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 x$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x + 6 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$15 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x + 6 \cdot 1$

Paso 1.5.3

Multiplica $6$ por $1$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x + 6$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $15 x^{4} + 16 x^{3} - 36 x + 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $15 x^{4}$ con respecto a $x$ es $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.2.3

Multiplica $4$ por $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

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Paso 2.3.1

Como $16$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $16 x^{3}$ con respecto a $x$ es $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$60 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.3.3

Multiplica $3$ por $16$ .

$60 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

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Paso 2.4.1

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36 x$ con respecto a $x$ es $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x^{3} + 48 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$60 x^{3} + 48 x^{2} - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 36$ por $1$ .

$60 x^{3} + 48 x^{2} - 36 + \frac{d}{d x} [6]$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.5.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$60 x^{3} + 48 x^{2} - 36 + 0$

Paso 2.5.2

Suma $60 x^{3} + 48 x^{2} - 36$ y $0$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + 48 x^{2} - 36$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $60 x^{3} + 48 x^{2} - 36$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Paso 3.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ .

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Paso 3.2.1

Como $60$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $60 x^{3}$ con respecto a $x$ es $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Paso 3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Paso 3.2.3

Multiplica $3$ por $60$ .

$180 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Paso 3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Paso 3.3.1

Como $48$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $48 x^{2}$ con respecto a $x$ es $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$180 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36]$

Paso 3.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$180 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36]$

Paso 3.3.3

Multiplica $2$ por $48$ .

$180 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 36]$

Paso 3.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 3.4.1

Como $- 36$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 36$ con respecto a $x$ es $0$ .

$180 x^{2} + 96 x + 0$

Paso 3.4.2

Suma $180 x^{2} + 96 x$ y $0$ .

$f''' (x) = 180 x^{2} + 96 x$