Cálculo Ejemplos

$\int \frac{8 \arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}} d x$

Paso 1

Dado que $8$ es constante con respecto a $x$ , mueve $8$ fuera de la integral.

$8 \int \frac{\arctan (2 x)}{1 + 4 x^{2}} d x$

Paso 2

Sea $u_{1} = 2 x$ . Entonces $d u_{1} = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 2.1

Deja $u_{1} = 2 x$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 2.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{(1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}) \cdot 2} d u_{1}$

Paso 3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$8 \int \frac{\arctan (u_{1})}{2 (1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2})} d u_{1}$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{1}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$8 (\frac{1}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{2}$ y $8$ .

$\frac{8}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $8$ y $2$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4}{1} \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Paso 5.2.2.4

Divide $4$ por $1$ .

$4 \int \frac{\arctan (u_{1})}{1 + 4 {(\frac{u_{1}}{2})}^{2}} d u_{1}$

Paso 6

Sea $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Entonces $d u_{2} = \frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} d u_{1}$ , de modo que $- d u_{2} = \frac{- 1}{{u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 6.1

Deja $u_{2} = \arctan (u_{1})$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Paso 6.1.1

Diferencia $\arctan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})]$

Paso 6.1.2

La derivada de $\arctan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Paso 6.1.3

Reordena los términos.

$\frac{1}{{u_{1}}^{2} + 1}$

Paso 6.1.4

Reorganiza los términos.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$

Paso 6.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$4 \int u_{2} d u_{2}$

Paso 7

Según la regla de la potencia, la integral de $u_{2}$ con respecto a $u_{2}$ es $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$4 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe $4 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $4 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$4 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Paso 8.2

Simplifica.

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Paso 8.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 8.2.2

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 8.2.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 8.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 8.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 8.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{1} {u_{2}}^{2} + C$

Paso 8.2.2.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$2 {u_{2}}^{2} + C$

Paso 9

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 9.1

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\arctan (u_{1})$ .

$2 {\arctan (u_{1})}^{2} + C$

Paso 9.2

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x$ .

$2 {\arctan (2 x)}^{2} + C$