Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - 3 x)}^{7} - 128}{4 x}$

Paso 1

Mueve el término $\frac{1}{4}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{{(2 - 3 x)}^{7} - 128}{x}$

Paso 2

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 2.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 2.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(2 - 3 x)}^{7} - 128}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 2.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(2 - 3 x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.2

Mueve el exponente $7$ de ${(2 - 3 x)}^{7}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 2 - 3 x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} 3 x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 - lim_{x \to 0} 3 x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 - 3 lim_{x \to 0} x)}^{7} - lim_{x \to 0} 128}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.1.6

Evalúa el límite de $128$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 - 3 lim_{x \to 0} x)}^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 - 3 \cdot 0)}^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.3.1.1

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{{(2 + 0)}^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.1.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2^{7} - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $7$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{128 - 1 \cdot 128}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $128$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{128 - 128}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.2.3.2

Resta $128$ de $128$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Paso 2.1.3

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Paso 2.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 - 3 x)}^{7} - 128}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7} - 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 2.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7} - 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de ${(2 - 3 x)}^{7} - 128$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 128]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(2 - 3 x)}^{7}]$ .

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Paso 2.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = 2 - 3 x$ .

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Paso 2.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 - 3 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [2 - 3 x] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 u^{6} \frac{d}{d x} [2 - 3 x] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 - 3 x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} \frac{d}{d x} [2 - 3 x] + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 - 3 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.3

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3 x$ con respecto a $x$ es $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (0 - 3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (0 - 3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.6

Multiplica $- 3$ por $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} (0 - 3) + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.7

Resta $3$ de $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{7 {(2 - 3 x)}^{6} \cdot - 3 + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.3.8

Multiplica $- 3$ por $7$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 21 {(2 - 3 x)}^{6} + \frac{d}{d x} [- 128]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.4

Como $- 128$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 128$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 21 {(2 - 3 x)}^{6} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.5

Suma $- 21 {(2 - 3 x)}^{6}$ y $0$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 21 {(2 - 3 x)}^{6}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{- 21 {(2 - 3 x)}^{6}}{1}$

Paso 2.4

Divide $- 21 {(2 - 3 x)}^{6}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} - 21 {(2 - 3 x)}^{6}$

Paso 3

Evalúa el límite.

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Paso 3.1

Mueve el término $- 21$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 21 lim_{x \to 0} {(2 - 3 x)}^{6}$

Paso 3.2

Mueve el exponente $6$ de ${(2 - 3 x)}^{6}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(lim_{x \to 0} 2 - 3 x)}^{6}$

Paso 3.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} 3 x)}^{6}$

Paso 3.4

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(2 - lim_{x \to 0} 3 x)}^{6}$

Paso 3.5

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(2 - 3 lim_{x \to 0} x)}^{6}$

Paso 4

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot - 21 {(2 - 3 \cdot 0)}^{6}$

Paso 5

Simplifica la respuesta.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 21$ .

$\frac{- 21}{4} {(2 - 3 \cdot 0)}^{6}$

Paso 5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{21}{4} {(2 - 3 \cdot 0)}^{6}$

Paso 5.3

Multiplica $- 3$ por $0$ .

$- \frac{21}{4} {(2 + 0)}^{6}$

Paso 5.4

Suma $2$ y $0$ .

$- \frac{21}{4} \cdot 2^{6}$

Paso 5.5

Eleva $2$ a la potencia de $6$ .

$- \frac{21}{4} \cdot 64$

Paso 5.6

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.6.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{21}{4}$ al numerador.

$\frac{- 21}{4} \cdot 64$

Paso 5.6.2

Factoriza $4$ de $64$ .

$\frac{- 21}{4} \cdot (4 (16))$

Paso 5.6.3

Cancela el factor común.

$\frac{- 21}{4} \cdot (4 \cdot 16)$

Paso 5.6.4

Reescribe la expresión.

$- 21 \cdot 16$

Paso 5.7

Multiplica $- 21$ por $16$ .

$- 336$