Cálculo Ejemplos

$\int 10 x \sin (5 x^{2} + 2) d x$

Paso 1

Dado que $10$ es constante con respecto a $x$ , mueve $10$ fuera de la integral.

$10 \int x \sin (5 x^{2} + 2) d x$

Paso 2

Sea $u = 5 x^{2} + 2$ . Entonces $d u = 10 x d x$ , de modo que $\frac{1}{10} d u = x d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 5 x^{2} + 2$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $5 x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 2]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{2} + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [2]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 x + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $10 x$ y $0$ .

$10 x$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$10 \int \sin (u) \frac{1}{10} d u$

Paso 3

Combina $\sin (u)$ y $\frac{1}{10}$ .

$10 \int \frac{\sin (u)}{10} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{10}$ fuera de la integral.

$10 (\frac{1}{10} \int \sin (u) d u)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Combina $\frac{1}{10}$ y $10$ .

$\frac{10}{10} \int \sin (u) d u$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{10}{10} \int \sin (u) d u$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$1 \int \sin (u) d u$

Paso 5.3

Multiplica $\int \sin (u) d u$ por $1$ .

$\int \sin (u) d u$

Paso 6

La integral de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $- \cos (u)$ .

$- \cos (u) + C$

Paso 7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $5 x^{2} + 2$ .

$- \cos (5 x^{2} + 2) + C$