Cálculo Ejemplos

$(1 - x) y' = y^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación diferencial.

$(1 - x) \frac{d y}{d x} = y^{2}$

Paso 2

Separa las variables.

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Paso 2.1

Divide cada término en $(1 - x) \frac{d y}{d x} = y^{2}$ por $1 - x$ y simplifica.

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Paso 2.1.1

Divide cada término en $(1 - x) \frac{d y}{d x} = y^{2}$ por $1 - x$ .

$\frac{(1 - x) \frac{d y}{d x}}{1 - x} = \frac{y^{2}}{1 - x}$

Paso 2.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.1.2.1

Cancela el factor común de $1 - x$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(1 - x) \frac{d y}{d x}}{1 - x} = \frac{y^{2}}{1 - x}$

Paso 2.1.2.1.2

Divide $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{1 - x}$

Paso 2.2

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{1 - x}$

Paso 2.3

Cancela el factor común de $y^{2}$ .

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Paso 2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{1 - x}$

Paso 2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x}$

Paso 2.4

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 3

Integra ambos lados.

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Paso 3.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 3.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.2.1.1

Mueve $y^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 3.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 3.2.2

Según la regla de la potencia, la integral de $y^{- 2}$ con respecto a $y$ es $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 3.2.3

Reescribe $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 3.3

Integra el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Sea $u = 1 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 3.3.1.1

Deja $u = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 3.3.1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 3.3.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

Paso 3.3.2

Divide la fracción en varias fracciones.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

Paso 3.3.3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Paso 3.3.4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Paso 3.3.5

Simplifica.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Paso 3.3.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Paso 3.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $C$ .

$- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$

Paso 4

Resuelve $y$

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Paso 4.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 4.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y, 1, 1$

Paso 4.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y$

Paso 4.2

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$ por $y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 4.2.1

Multiplica cada término en $- \frac{1}{y} = - \ln (| 1 - x |) + C$ por $y$ .

$- \frac{1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Paso 4.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{- 1}{y} y = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Paso 4.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$- 1 = - \ln (| 1 - x |) y + C y$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Reordena los factores en $- \ln (| 1 - x |) y + C y$ .

$- 1 = - y \ln (| 1 - x |) + C y$

Paso 4.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.3.1

Reescribe la ecuación como $- y \ln (| 1 - x |) + C y = - 1$ .

$- y \ln (| 1 - x |) + C y = - 1$

Paso 4.3.2

Factoriza $y$ de $- y \ln (| 1 - x |) + C y$ .

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Paso 4.3.2.1

Factoriza $y$ de $- y \ln (| 1 - x |)$ .

$y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + C y = - 1$

Paso 4.3.2.2

Factoriza $y$ de $C y$ .

$y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + y C = - 1$

Paso 4.3.2.3

Factoriza $y$ de $y (- 1 \ln (| 1 - x |)) + y C$ .

$y (- 1 \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$

Paso 4.3.3

Reescribe $- 1 \ln (| 1 - x |)$ como $- \ln (| 1 - x |)$ .

$y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$

Paso 4.3.4

Divide cada término en $y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$ por $- \ln (| 1 - x |) + C$ y simplifica.

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Paso 4.3.4.1

Divide cada término en $y (- \ln (| 1 - x |) + C) = - 1$ por $- \ln (| 1 - x |) + C$ .

$\frac{y (- \ln (| 1 - x |) + C)}{- \ln (| 1 - x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Paso 4.3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.4.2.1

Cancela el factor común de $- \ln (| 1 - x |) + C$ .

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Paso 4.3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (- \ln (| 1 - x |) + C)}{- \ln (| 1 - x |) + C} = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Paso 4.3.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Paso 4.3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.4.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{- \ln (| 1 - x |) + C}$

Paso 4.3.4.3.2

Factoriza $- 1$ de $- \ln (| 1 - x |)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |)) + C}$

Paso 4.3.4.3.3

Factoriza $- 1$ de $C$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |)) - 1 (- C)}$

Paso 4.3.4.3.4

Factoriza $- 1$ de $- (\ln (| 1 - x |)) - 1 (- C)$ .

$y = - \frac{1}{- (\ln (| 1 - x |) - C)}$

Paso 4.3.4.3.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.4.3.5.1

Reescribe $- (\ln (| 1 - x |) - C)$ como $- 1 (\ln (| 1 - x |) - C)$ .

$y = - \frac{1}{- 1 (\ln (| 1 - x |) - C)}$

Paso 4.3.4.3.5.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - - \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Paso 4.3.4.3.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Paso 4.3.4.3.5.4

Multiplica $\frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$ por $1$ .

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) - C}$

Paso 5

Simplifica la constante de integración.

$y = \frac{1}{\ln (| 1 - x |) + C}$