Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to \sqrt{2}} (2 x^{2} + 1) (7 x^{2} + 13)$

Paso 1

Divide el límite mediante la regla del producto de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\sqrt{2}$ .

$lim_{x \to \sqrt{2}} 2 x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\sqrt{2}$ .

$(lim_{x \to \sqrt{2}} 2 x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 1) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

Paso 3

Mueve el término $2$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$(2 lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 1) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

Paso 4

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 1) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

Paso 5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\sqrt{2}$ .

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + 13$

Paso 6

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\sqrt{2}$ .

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot (lim_{x \to \sqrt{2}} 7 x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 13)$

Paso 7

Mueve el término $7$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot (7 lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 13)$

Paso 8

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot (7 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 13)$

Paso 9

Evalúa el límite de $13$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\sqrt{2}$ .

$(2 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 1) \cdot (7 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 13)$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $\sqrt{2}$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\sqrt{2}$ para $x$ .

$(2 {\sqrt{2}}^{2} + 1) \cdot (7 {(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 13)$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $\sqrt{2}$ para $x$ .

$(2 {\sqrt{2}}^{2} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica cada término.

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Paso 11.1.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 11.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Paso 11.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Paso 11.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$(2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Paso 11.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$(2 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Paso 11.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$(2 \cdot 2^{1} + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Paso 11.1.1.5

Evalúa el exponente.

$(2 \cdot 2 + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Paso 11.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$(4 + 1) \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Paso 11.2

Suma $4$ y $1$ .

$5 \cdot (7 {\sqrt{2}}^{2} + 13)$

Paso 11.3

Simplifica cada término.

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Paso 11.3.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 11.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \cdot (7 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 13)$

Paso 11.3.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot (7 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 13)$

Paso 11.3.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$5 \cdot (7 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 13)$

Paso 11.3.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.3.1.4.1

Cancela el factor común.

$5 \cdot (7 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 13)$

Paso 11.3.1.4.2

Reescribe la expresión.

$5 \cdot (7 \cdot 2^{1} + 13)$

Paso 11.3.1.5

Evalúa el exponente.

$5 \cdot (7 \cdot 2 + 13)$

Paso 11.3.2

Multiplica $7$ por $2$ .

$5 \cdot (14 + 13)$

Paso 11.4

Suma $14$ y $13$ .

$5 \cdot 27$

Paso 11.5

Multiplica $5$ por $27$ .

$135$