Cálculo Ejemplos

$x^{2} e^{- x}$

Paso 1

Escribe $x^{2} e^{- x}$ como una función.

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

Paso 2

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 3

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int x^{2} e^{- x} d x$

Paso 4

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x^{2}$ y $d v = e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

Paso 5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

Paso 6

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$x^{2} (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

Paso 7

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

Paso 8

Integra por partes mediante la fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , donde $u = x$ y $d v = e^{- x}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Paso 9

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Paso 10.2

Multiplica $\int e^{- x} d x$ por $1$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Paso 11

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 11.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 11.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 11.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 11.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 11.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 11.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Paso 12

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Paso 13

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$

Paso 14

Reescribe $x^{2} (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C))$ como $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C$

Paso 15

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = x^{2} e^{- x}$ .

$F (x) =$ $- x^{2} e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$