Cálculo Ejemplos

$\int 5 x (2 x + 5) (x - 3) d x$

Paso 1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int (x (2 x + 5)) (x - 3) d x$

Paso 2

Sea $u = x - 3$ . Entonces $d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = x - 3$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Paso 2.1.4

Como $- 3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

$1$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$5 \int (u + 3) (2 (u + 3) + 5) u d u$

$5 \int (u + 3) (2 (u + 3) + 5) u d u$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \int (u + 3) (2 u + 2 \cdot 3 + 5) u d u$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \int (u (2 u + 2 \cdot 3 + 5) + 3 (2 u + 2 \cdot 3 + 5)) u d u$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \int (u (2 u + 2 \cdot 3) + u \cdot 5 + 3 (2 u + 2 \cdot 3 + 5)) u d u$

Paso 3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3) + u \cdot 5 + 3 (2 u + 2 \cdot 3 + 5)) u d u$

Paso 3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3) + u \cdot 5 + 3 (2 u + 2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

Paso 3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3) + u \cdot 5 + 3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

Paso 3.7

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3) + u \cdot 5) u + (3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

Paso 3.8

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \int (u (2 u) + u (2 \cdot 3)) u + u \cdot 5 u + (3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

Paso 3.9

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \int u (2 u) u + u (2 \cdot 3) u + u \cdot 5 u + (3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3) + 3 \cdot 5) u d u$

Paso 3.10

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \int u (2 u) u + u (2 \cdot 3) u + u \cdot 5 u + (3 (2 u) + 3 (2 \cdot 3)) u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.11

Aplica la propiedad distributiva.

$5 \int u (2 u) u + u (2 \cdot 3) u + u \cdot 5 u + 3 (2 u) u + 3 (2 \cdot 3) u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.12

Reordena $u$ y $2$ .

$5 \int 2 \cdot u \cdot u \cdot u + u (2 \cdot 3) u + u \cdot 5 u + 3 (2 u) u + 3 (2 \cdot 3) u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.13

Mueve $u$ .

$5 \int 2 \cdot u \cdot u \cdot u + 2 \cdot 3 u \cdot u + u \cdot 5 u + 3 (2 u) u + 3 (2 \cdot 3) u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.14

Reordena $u$ y $5$ .

$5 \int 2 \cdot u \cdot u \cdot u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 \cdot u \cdot u + 3 (2 u) u + 3 (2 \cdot 3) u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.15

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$5 \int 2 (u^{1} u) u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.16

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$5 \int 2 (u^{1} u^{1}) u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.17

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 \int 2 u^{1 + 1} u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.18

Suma $1$ y $1$ .

$5 \int 2 u^{2} u + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.19

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$5 \int 2 (u^{2} u^{1}) + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.20

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 \int 2 u^{2 + 1} + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.21

Suma $2$ y $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 2 \cdot 3 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.22

Multiplica $2$ por $3$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 u \cdot u + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.23

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 (u^{1} u) + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.24

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 (u^{1} u^{1}) + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.25

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{1 + 1} + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.26

Suma $1$ y $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 u \cdot u + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.27

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 (u^{1} u) + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.28

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.29

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 u^{1 + 1} + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.30

Suma $1$ y $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 6 u^{2} + 5 u^{2} + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.31

Suma $6 u^{2}$ y $5 u^{2}$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 3 \cdot 2 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.32

Multiplica $3$ por $2$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u \cdot u + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.33

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 (u^{1} u) + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.34

Eleva $u$ a la potencia de $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 (u^{1} u^{1}) + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.35

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{1 + 1} + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.36

Suma $1$ y $1$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 3 \cdot 2 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.37

Multiplica $3$ por $2$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 6 \cdot 3 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.38

Multiplica $6$ por $3$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 18 u + 3 \cdot 5 u d u$

Paso 3.39

Multiplica $3$ por $5$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 18 u + 15 u d u$

Paso 3.40

Suma $18 u$ y $15 u$ .

$5 \int 2 u^{3} + 11 u^{2} + 6 u^{2} + 33 u d u$

Paso 3.41

Suma $11 u^{2}$ y $6 u^{2}$ .

$5 \int 2 u^{3} + 17 u^{2} + 33 u d u$

$5 \int 2 u^{3} + 17 u^{2} + 33 u d u$

Paso 4

Divide la única integral en varias integrales.

$5 (\int 2 u^{3} d u + \int 17 u^{2} d u + \int 33 u d u)$

Paso 5

Dado que $2$ es constante con respecto a $u$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$5 (2 \int u^{3} d u + \int 17 u^{2} d u + \int 33 u d u)$

Paso 6

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{3}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 17 u^{2} d u + \int 33 u d u)$

Paso 7

Dado que $17$ es constante con respecto a $u$ , mueve $17$ fuera de la integral.

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 17 \int u^{2} d u + \int 33 u d u)$

Paso 8

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{2}$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 17 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 33 u d u)$

Paso 9

Dado que $33$ es constante con respecto a $u$ , mueve $33$ fuera de la integral.

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 17 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 33 \int u d u)$

Paso 10

Según la regla de la potencia, la integral de $u$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$5 (2 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 17 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 33 (\frac{1}{2} u^{2} + C))$

Paso 11

Simplifica.

$5 (\frac{u^{4}}{2} + \frac{17 u^{3}}{3} + \frac{33 u^{2}}{2}) + C$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 3$ .

$5 (\frac{{(x - 3)}^{4}}{2} + \frac{17 {(x - 3)}^{3}}{3} + \frac{33 {(x - 3)}^{2}}{2}) + C$

Paso 13

Reordena los términos.

$5 (\frac{1}{2} {(x - 3)}^{4} + \frac{17}{3} {(x - 3)}^{3} + \frac{33}{2} {(x - 3)}^{2}) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$