Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 - x} d x$

Paso 1

Sea $u = 1 - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 1 - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Reescribe.

$\frac{- 1}{1}$

Paso 1.1.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 1 - x$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Paso 1.3

Resta $0$ de $1$ .

$u_{lower} = 1$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 1 - x$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

Paso 1.5.2

Resta $1$ de $1$ .

$u_{upper} = 0$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{1}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

Paso 2

Divide la fracción en varias fracciones.

$\int_{1}^{0} - \frac{1}{u} d u$

Paso 3

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int_{1}^{0} \frac{1}{u} d u$

Paso 4

La integral de $\frac{1}{u}$ con respecto a $u$ es $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Paso 5

Evalúa $\ln (| u |)$ en $0$ y en $1$ .

$- (\ln (| 0 |) - \ln (| 1 |))$

Paso 6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 0 |}{| 1 |})$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$- \ln (\frac{0}{| 1 |})$

Paso 7.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$- \ln (\frac{0}{1})$

Paso 7.3

Divide $0$ por $1$ .

$- \ln (0)$

Paso 7.4

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida

$- \ln (0)$

Paso 8

El logaritmo natural de cero es indefinido.

Indefinida