Cálculo Ejemplos

$f (x) = x^{3} + a x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia.

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Paso 1.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{3} + a x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$

Paso 1.1.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [a x]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [a x]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $a$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $a x$ con respecto a $x$ es $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + a \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 x^{2} + a \cdot 1$

Paso 1.1.2.3

Multiplica $a$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + a$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $3 x^{2} + a$ .

$3 x^{2} + a$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $3 x^{2} + a = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$3 x^{2} + a = 0$

Paso 2.2

Resta $a$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} = - a$

Paso 2.3

Divide cada término en $3 x^{2} = - a$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.3.1

Divide cada término en $3 x^{2} = - a$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

Paso 2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

Paso 2.3.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- a}{3}$

Paso 2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x^{2} = - \frac{a}{3}$

Paso 2.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Paso 2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Paso 2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Paso 2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $x^{3} + a x$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ por $x$ .

${(\sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Reescribe ${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ como $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ .

$\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.1.2.1.2

Aplica la regla del producto a $- \frac{a}{3}$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.1.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.1.2.1.4

Aplica la regla del producto a $\frac{a}{3}$ .

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.1.2.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.1.2.1.6

Reescribe $- \frac{a^{3}}{27}$ como ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ .

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Paso 4.1.2.1.6.1

Factoriza la potencia perfecta $a^{2}$ de $a^{3}$ .

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.1.2.1.6.2

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $27$ .

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.1.2.1.6.3

Reorganiza la fracción $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ .

$\sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.1.2.1.6.4

Reordena $- 1$ y ${(\frac{a}{3})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.1.2.1.6.5

Agrega paréntesis.

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.1.2.1.7

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.1.2.1.8

Combina $\frac{a}{3}$ y $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.1.2.2

Para escribir $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot \frac{3}{3}$

Paso 4.1.2.3

Simplifica los términos.

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Paso 4.1.2.3.1

Combina $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + \frac{a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

Paso 4.1.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

Paso 4.1.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.4.1

Mueve $3$ a la izquierda de $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + 3 \cdot (a (\sqrt{- \frac{a}{3}}))}{3}$

Paso 4.1.2.4.2

Suma $a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ y $3 a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$\frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ por $x$ .

${(- \sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

${(- 1)}^{3} {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.2.2.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.2.2.3

Reescribe ${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ como $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ .

$- \sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.2.2.4

Aplica la regla del producto a $- \frac{a}{3}$ .

$- \sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.2.2.5

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- \sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.2.2.6

Aplica la regla del producto a $\frac{a}{3}$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.2.2.7

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.2.2.8

Reescribe $- \frac{a^{3}}{27}$ como ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ .

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Paso 4.2.2.8.1

Factoriza la potencia perfecta $a^{2}$ de $a^{3}$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.2.2.8.2

Factoriza la potencia perfecta $3^{2}$ de $27$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.2.2.8.3

Reorganiza la fracción $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ .

$- \sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.2.2.8.4

Reordena $- 1$ y ${(\frac{a}{3})}^{2}$ .

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.2.2.8.5

Agrega paréntesis.

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.2.2.9

Retira los términos de abajo del radical.

$- (\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}) + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.2.2.10

Combina $\frac{a}{3}$ y $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 4.2.2.11

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(\sqrt{- \frac{a}{3}}, \frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}), (- \sqrt{- \frac{a}{3}}, - \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Paso 5