Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{3^{x}}$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{3^{x}} d x$

Paso 3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.1

Niega el exponente de $3^{x}$ y quítalo del denominador.

$\int 1 {(3^{x})}^{- 1} d x$

Paso 3.2

Simplifica.

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Paso 3.2.1

Multiplica los exponentes en ${(3^{x})}^{- 1}$ .

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Paso 3.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 \cdot 3^{x \cdot - 1} d x$

Paso 3.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\int 1 \cdot 3^{- 1 \cdot x} d x$

Paso 3.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\int 1 \cdot 3^{- x} d x$

Paso 3.2.2

Multiplica $3^{- x}$ por $1$ .

$\int 3^{- x} d x$

Paso 4

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 4.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int - 3^{u} d u$

Paso 5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$- \int 3^{u} d u$

Paso 6

La integral de $3^{u}$ con respecto a $u$ es $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ .

$- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$

Paso 7

Reescribe $- (\frac{3^{u}}{\ln (3)} + C)$ como $- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$ .

$- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{u} + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- x$ .

$- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} + C$

Paso 9

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \frac{1}{3^{x}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{\ln (3)} \cdot 3^{- x} + C$