Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sin^{2} (x)$

Paso 1

La función $F (x)$ puede obtenerse mediante el cálculo de la integral indefinida de la derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Paso 2

Establece la integral para resolver.

$F (x) = \int \sin^{2} (x) d x$

Paso 3

Usa la fórmula del ángulo mitad para reescribir $\sin^{2} (x)$ como $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ .

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x$

Paso 5

Divide la única integral en varias integrales.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

Paso 6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

Paso 7

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

Paso 8

Sea $u = 2 x$ . Entonces $d u = 2 d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 8.1

Deja $u = 2 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 8.1.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Paso 8.1.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$2$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Paso 9

Combina $\cos (u)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Paso 10

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Paso 11

La integral de $\cos (u)$ con respecto a $u$ es $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Paso 12

Simplifica.

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Paso 13

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Paso 14

Simplifica.

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Paso 14.1

Combina $\sin (2 x)$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Paso 14.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Paso 14.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $x$ .

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Paso 14.4

Multiplica $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ .

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Paso 14.4.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Paso 14.4.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Paso 15

Reordena los términos.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Paso 16

La respuesta es la antiderivada de la función $f (x) = \sin^{2} (x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$