Cálculo Ejemplos

$y' + 2 y = 0$ , $y = 3 e^{- 2 x}$

Paso 1

Obtén $y'$ .

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 e^{- 2 x})$

Paso 1.2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 e^{- 2 x}$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = - 2 x$ .

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Paso 1.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- 2 x$ .

$3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 1.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- 2 x$ .

$3 (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 1.3.3

Diferencia.

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Paso 1.3.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3.2

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$- 6 e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 1.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 6 e^{- 2 x} \cdot 1$

Paso 1.3.3.4

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$- 6 e^{- 2 x}$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = - 6 e^{- 2 x}$

Paso 2

Sustituye en la ecuación diferencial dada.

$- 6 e^{- 2 x} + 2 (3 e^{- 2 x}) = 0$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$- 6 e^{- 2 x} + 6 e^{- 2 x} = 0$

Paso 3.2

Suma $- 6 e^{- 2 x}$ y $6 e^{- 2 x}$ .

$0 = 0$

Paso 4

La solución dada satisface la ecuación diferencial dada.

$y = 3 e^{- 2 x}$ es una solución para $y' + 2 y = 0$