Cálculo Ejemplos

$\ln (1 + x^{2} + 2 y^{2})$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ es $f' (g (y)) g' (y)$ donde $f (y) = \ln (y)$ y $g (y) = 1 + x^{2} + 2 y^{2}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

Paso 1.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [1 + x^{2} + 2 y^{2}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + x^{2} + 2 y^{2}$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Paso 2.2

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Paso 2.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Paso 2.4

Como $x^{2}$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $x^{2}$ con respecto a $y$ es $0$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (0 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}])$

Paso 2.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

Paso 2.6

Como $2$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $2 y^{2}$ con respecto a $y$ es $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (2 \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Paso 2.7

Combina $2$ y $\frac{1}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} (2 y)$

Paso 2.9

Combina fracciones.

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Paso 2.9.1

Combina $2$ y $\frac{2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} y$

Paso 2.9.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{1 + x^{2} + 2 y^{2}} y$

Paso 2.9.3

Combina $\frac{4}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$ y $y$ .

$\frac{4 y}{1 + x^{2} + 2 y^{2}}$

Paso 2.9.4

Reordena los términos.

$\frac{4 y}{x^{2} + 2 y^{2} + 1}$