Cálculo Ejemplos

$\int 5 x^{2} \sec^{2} (2 x^{3} - 6) d x$

Paso 1

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int x^{2} \sec^{2} (2 x^{3} - 6) d x$

Paso 2

Sea $u = 2 x^{3} - 6$ . Entonces $d u = 6 x^{2} d x$ , de modo que $\frac{1}{6} d u = x^{2} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.1

Deja $u = 2 x^{3} - 6$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 2.1.1

Diferencia $2 x^{3} - 6$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} - 6]$

Paso 2.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{3} - 6$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{3}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 2.1.3.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Paso 2.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 x^{2} + 0$

Paso 2.1.4.2

Suma $6 x^{2}$ y $0$ .

$6 x^{2}$

Paso 2.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$5 \int \sec^{2} (u) \frac{1}{6} d u$

Paso 3

Combina $\sec^{2} (u)$ y $\frac{1}{6}$ .

$5 \int \frac{\sec^{2} (u)}{6} d u$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{6}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{6}$ fuera de la integral.

$5 (\frac{1}{6} \int \sec^{2} (u) d u)$

Paso 5

Combina $\frac{1}{6}$ y $5$ .

$\frac{5}{6} \int \sec^{2} (u) d u$

Paso 6

Como la derivada de $\tan (u)$ es $\sec^{2} (u)$ , la integral de $\sec^{2} (u)$ es $\tan (u)$ .

$\frac{5}{6} (\tan (u) + C)$

Paso 7

Simplifica.

$\frac{5}{6} \tan (u) + C$

Paso 8

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x^{3} - 6$ .

$\frac{5}{6} \tan (2 x^{3} - 6) + C$