Cálculo Ejemplos

$\int [12 x^{2} + \csc^{2} (3 x)] d x$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$\int 12 x^{2} + \csc^{2} (3 x) d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int 12 x^{2} d x + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Paso 3

Dado que $12$ es constante con respecto a $x$ , mueve $12$ fuera de la integral.

$12 \int x^{2} d x + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \csc^{2} (3 x) d x$

Paso 5

Sea $u = 3 x$ . Entonces $d u = 3 d x$ , de modo que $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 5.1

Deja $u = 3 x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Paso 5.1.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Paso 5.1.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$3$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int \csc^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Combina $\frac{1}{3}$ y $x^{3}$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \csc^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

Paso 6.2

Combina $\csc^{2} (u)$ y $\frac{1}{3}$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \int \frac{\csc^{2} (u)}{3} d u$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Paso 8

Como la derivada de $- \cot (u)$ es $\csc^{2} (u)$ , la integral de $\csc^{2} (u)$ es $- \cot (u)$ .

$12 (\frac{x^{3}}{3} + C) + \frac{1}{3} (- \cot (u) + C)$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Simplifica.

$4 x^{3} + \frac{1}{3} (- \cot (u)) + C$

Paso 9.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $\cot (u)$ .

$4 x^{3} - \frac{\cot (u)}{3} + C$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x$ .

$4 x^{3} - \frac{\cot (3 x)}{3} + C$

Paso 11

Reordena los términos.

$4 x^{3} - \frac{1}{3} \cot (3 x) + C$