Cálculo Ejemplos

$\int \sin^{4} (e^{2 x}) \cos (e^{2 x}) e^{2 x} d x$

Paso 1

Sea $u_{3} = \sin (e^{2 x})$ . Entonces $d u_{3} = 2 e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ , de modo que $\frac{1}{2} d u_{3} = e^{2 x} \cos (e^{2 x}) d x$ . Reescribe mediante $u_{3}$ y $d$ $u_{3}$ .

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Paso 1.1

Deja $u_{3} = \sin (e^{2 x})$ . Obtén $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $\sin (e^{2 x})$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (e^{2 x})]$

Paso 1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = e^{2 x}$ .

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Paso 1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $e^{2 x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 1.1.2.2

La derivada de $\sin (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $e^{2 x}$ .

$\cos (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 1.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $2 x$ .

$\cos (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $2 x$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 1.1.4

Diferencia.

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Paso 1.1.4.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.1.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Paso 1.1.4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.4.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\cos (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 2)$

Paso 1.1.4.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$\cos (e^{2 x}) (2 \cdot e^{2 x})$

Paso 1.1.4.3.3

Reordena los factores de $\cos (e^{2 x}) (2 e^{2 x})$ .

$2 e^{2 x} \cos (e^{2 x})$

Paso 1.2

Reescribe el problema mediante $u_{3}$ y $d u_{3}$ .

$\int {u_{3}}^{4} \frac{1}{2} d u_{3}$

Paso 2

Combina ${u_{3}}^{4}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{{u_{3}}^{4}}{2} d u_{3}$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $u_{3}$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int {u_{3}}^{4} d u_{3}$

Paso 4

Según la regla de la potencia, la integral de ${u_{3}}^{4}$ con respecto a $u_{3}$ es $\frac{1}{5} {u_{3}}^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Reescribe $\frac{1}{2} (\frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C)$ como $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} {u_{3}}^{5} + C$

Paso 5.2

Simplifica.

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Paso 5.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 5} {u_{3}}^{5} + C$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{1}{10} {u_{3}}^{5} + C$

Paso 6

Reemplaza todos los casos de $u_{3}$ con $\sin (e^{2 x})$ .

$\frac{1}{10} \sin^{5} (e^{2 x}) + C$