Cálculo Ejemplos

$- 2 x e^{1 - x^{2}}$

Paso 1

Obtén la primera derivada de la función.

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Paso 1.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x e^{1 - x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{1 - x^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{1 - x^{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{1 - x^{2}}$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}] + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Paso 1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x^{2}$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x^{2}$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4

Diferencia.

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Paso 1.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- (2 x))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.4.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (x^{1} x (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 (x^{1 + 1} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.8.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{1 - x^{2}}$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \cdot 1)$

Paso 1.10

Multiplica $e^{1 - x^{2}}$ por $1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}})$

Paso 1.11

Simplifica.

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Paso 1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}})) - 2 e^{1 - x^{2}}$

Paso 1.11.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Paso 1.11.3

Reordena los términos.

$4 e^{1 - x^{2}} x^{2} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Paso 1.11.4

Reordena los factores en $4 e^{1 - x^{2}} x^{2} - 2 e^{1 - x^{2}}$ .

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Paso 2

Obtén la segunda derivada de la función.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{1 - x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{1 - x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} e^{1 - x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2} e^{1 - x^{2}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2} e^{1 - x^{2}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{1 - x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{1 - x^{2}}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{1 - x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Paso 2.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Paso 2.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Paso 2.2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ es $a^{u_{1}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Paso 2.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2})) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Paso 2.2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Paso 2.2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Paso 2.2.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 - \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Paso 2.2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 - (2 x))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Paso 2.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 - (2 x))) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Paso 2.2.9

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (0 - 2 x)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Paso 2.2.10

Resta $2 x$ de $0$ .

$f'' (x) = 4 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Paso 2.2.11

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.11.1

Mueve $x$ .

$f'' (x) = 4 (x \cdot x^{2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Paso 2.2.11.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.2.11.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$f'' (x) = 4 (x \cdot x^{2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Paso 2.2.11.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f'' (x) = 4 (x^{1 + 2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Paso 2.2.11.3

Suma $1$ y $2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Paso 2.2.12

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{1 - x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{1 - x^{2}})$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 2 e^{1 - x^{2}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 e^{1 - x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 \frac{d}{d x} e^{1 - x^{2}}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (1 - x^{2}))$

Paso 2.3.2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2}))$

Paso 2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $1 - x^{2}$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - x^{2}))$

Paso 2.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- x^{2})))$

Paso 2.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})))$

Paso 2.3.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (0 - \frac{d}{d x} x^{2}))$

Paso 2.3.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (0 - (2 x)))$

Paso 2.3.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (0 - 2 x))$

Paso 2.3.8

Resta $2 x$ de $0$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) - 2 (e^{1 - x^{2}} (- 2 x))$

Paso 2.3.9

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} (2 x)) + 4 e^{1 - x^{2}} x$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f'' (x) = 4 (x^{3} (- 2 e^{1 - x^{2}})) + 4 (e^{1 - x^{2}} (2 x)) + 4 e^{1 - x^{2}} x$

Paso 2.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.4.2.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$f'' (x) = - 8 (x^{3} (e^{1 - x^{2}})) + 4 (e^{1 - x^{2}} (2 x)) + 4 e^{1 - x^{2}} x$

Paso 2.4.2.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$f'' (x) = - 8 x^{3} e^{1 - x^{2}} + 8 (e^{1 - x^{2}} (x)) + 4 e^{1 - x^{2}} x$

Paso 2.4.2.3

Suma $8 e^{1 - x^{2}} x$ y $4 e^{1 - x^{2}} x$ .

$f'' (x) = - 8 x^{3} e^{1 - x^{2}} + 12 e^{1 - x^{2}} x$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$f'' (x) = - 8 e^{1 - x^{2}} x^{3} + 12 e^{1 - x^{2}} x$

Paso 2.4.4

Reordena los factores en $- 8 e^{1 - x^{2}} x^{3} + 12 e^{1 - x^{2}} x$ .

$f'' (x) = - 8 x^{3} e^{1 - x^{2}} + 12 x e^{1 - x^{2}}$

Paso 3

Para obtener los valores mínimo y máximo locales de la función, establece la derivada igual a $0$ y resuelve.

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}} = 0$

Paso 4

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 4.1.1

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x e^{1 - x^{2}}$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x e^{1 - x^{2}}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x e^{1 - x^{2}}]$

Paso 4.1.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = e^{1 - x^{2}}$ .

$- 2 (x \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}] + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $1 - x^{2}$ .

$- 2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $1 - x^{2}$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.4

Diferencia.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.4.2

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.4.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.4.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.4.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- (2 x))) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.4.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 (x (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (x^{1} x (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 2 (x^{1 + 1} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.8

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$- 2 (x^{2} (e^{1 - x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.8.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $e^{1 - x^{2}}$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 4.1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}} \cdot 1)$

Paso 4.1.10

Multiplica $e^{1 - x^{2}}$ por $1$ .

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}}) + e^{1 - x^{2}})$

Paso 4.1.11

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 (x^{2} (- 2 e^{1 - x^{2}})) - 2 e^{1 - x^{2}}$

Paso 4.1.11.2

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Paso 4.1.11.3

Reordena los términos.

$4 e^{1 - x^{2}} x^{2} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Paso 4.1.11.4

Reordena los factores en $4 e^{1 - x^{2}} x^{2} - 2 e^{1 - x^{2}}$ .

$f' (x) = 4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Paso 4.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$ .

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$

Paso 5

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}} = 0$ .

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Paso 5.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}} = 0$

Paso 5.2

Factoriza $2 e^{1 - x^{2}}$ de $4 x^{2} e^{1 - x^{2}} - 2 e^{1 - x^{2}}$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $2 e^{1 - x^{2}}$ de $4 x^{2} e^{1 - x^{2}}$ .

$2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2}) - 2 e^{1 - x^{2}} = 0$

Paso 5.2.2

Factoriza $2 e^{1 - x^{2}}$ de $- 2 e^{1 - x^{2}}$ .

$2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{1 - x^{2}} (- 1) = 0$

Paso 5.2.3

Factoriza $2 e^{1 - x^{2}}$ de $2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2}) + 2 e^{1 - x^{2}} (- 1)$ .

$2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$

Paso 5.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{1 - x^{2}} = 0$

$2 x^{2} - 1 = 0$

Paso 5.4

Establece $e^{1 - x^{2}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.4.1

Establece $e^{1 - x^{2}}$ igual a $0$ .

$e^{1 - x^{2}} = 0$

Paso 5.4.2

Resuelve $e^{1 - x^{2}} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.4.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{1 - x^{2}}) = \ln (0)$

Paso 5.4.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 5.4.2.3

No hay soluciones para $e^{1 - x^{2}} = 0$

No hay solución

Paso 5.5

Establece $2 x^{2} - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.5.1

Establece $2 x^{2} - 1$ igual a $0$ .

$2 x^{2} - 1 = 0$

Paso 5.5.2

Resuelve $2 x^{2} - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} = 1$

Paso 5.5.2.2

Divide cada término en $2 x^{2} = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.5.2.2.1

Divide cada término en $2 x^{2} = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.5.2.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.5.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Paso 5.5.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 5.5.2.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Paso 5.5.2.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Paso 5.5.2.4.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Paso 5.5.2.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 5.5.2.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Paso 5.5.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Paso 5.5.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Paso 5.5.2.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Paso 5.5.2.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Paso 5.5.2.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 5.5.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 5.5.2.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 5.5.2.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.5.2.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.5.2.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Paso 5.5.2.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Paso 5.5.2.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5.5.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.5.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5.5.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5.5.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 5.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 e^{1 - x^{2}} (2 x^{2} - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 6

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 6.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 7

Puntos críticos para evaluar.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Paso 8

Evalúa la segunda derivada en $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 8 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9

Evalúa la segunda derivada.

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Paso 9.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 8 \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 9.1.2.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$- 8 \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.2.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- 8 \frac{\sqrt{8}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.2.3

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 9.1.2.3.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$- 8 \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.2.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- 8 \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.2.4

Retira los términos de abajo del radical.

$- 8 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- 8 \frac{2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.4

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 9.1.4.1

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$8 (- 1) \frac{2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.4.2

Cancela el factor común.

$8 \cdot - 1 \frac{2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.4.3

Reescribe la expresión.

$- 1 (2 \sqrt{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.6

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.6.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.6.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 9.1.6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.6.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.6.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.6.2.4.1

Cancela el factor común.

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.6.2.4.2

Reescribe la expresión.

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.6.2.5

Evalúa el exponente.

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{2^{2}}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.6.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{4}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.6.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 9.1.6.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 (1)}{4}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.6.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 9.1.6.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.6.4.2.2

Cancela el factor común.

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.6.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- 2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{1}{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{2 - 1}{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.9

Resta $1$ de $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 12 (\frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.10

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.10.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 2 (6) \frac{\sqrt{2}}{2} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.10.2

Cancela el factor común.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.10.3

Reescribe la expresión.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 9.1.11

Simplifica cada término.

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Paso 9.1.11.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 9.1.11.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 9.1.11.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 9.1.11.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Paso 9.1.11.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 9.1.11.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.1.11.2.4.1

Cancela el factor común.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 9.1.11.2.4.2

Reescribe la expresión.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Paso 9.1.11.2.5

Evalúa el exponente.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Paso 9.1.11.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{4}}$

Paso 9.1.11.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 9.1.11.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Paso 9.1.11.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.11.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 9.1.11.4.2.2

Cancela el factor común.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 9.1.11.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{1}{2}}$

Paso 9.1.12

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Paso 9.1.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{\frac{2 - 1}{2}}$

Paso 9.1.14

Resta $1$ de $2$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Paso 9.2

Suma $- 2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ y $6 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Paso 10

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ es un mínimo local porque el valor de la segunda derivada es positivo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ es un mínimo local

Paso 11

Obtén el valor de y cuando $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Paso 11.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{\sqrt{2}}{2}$ en la expresión.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 11.2

Simplifica el resultado.

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Paso 11.2.1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 (- 1) (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 11.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 11.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - 1 \sqrt{2} \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 11.2.1.2

Reescribe $- 1 \sqrt{2}$ como $- \sqrt{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 11.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 11.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 11.2.2.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 11.2.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Paso 11.2.2.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 11.2.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 11.2.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 11.2.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Paso 11.2.2.2.5

Evalúa el exponente.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Paso 11.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2}{4}}$

Paso 11.2.2.4

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.4.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Paso 11.2.2.4.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.2.4.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 11.2.2.4.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 11.2.2.4.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{1}{2}}$

Paso 11.2.3

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Paso 11.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} \cdot e^{\frac{2 - 1}{2}}$

Paso 11.2.3.3

Resta $1$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = - \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Paso 11.2.4

La respuesta final es $- \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Paso 12

Evalúa la segunda derivada en $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Si la segunda derivada es positiva, entonces este es un mínimo local. Si es negativa, entonces este es un máximo local.

$- 8 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13

Evalúa la segunda derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 8 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$- 8 (- \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.3

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.3.1

Reescribe ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$- 8 (- \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- 8 (- \frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.3.3

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.3.3.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$- 8 (- \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.3.3.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- 8 (- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.3.4

Retira los términos de abajo del radical.

$- 8 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$- 8 (- \frac{2 \sqrt{2}}{8}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.5

Cancela el factor común de $8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.5.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2 \sqrt{2}}{8}$ al numerador.

$- 8 \frac{- 2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.5.2

Factoriza $8$ de $- 8$ .

$8 (- 1) \frac{- 2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.5.3

Cancela el factor común.

$8 \cdot - 1 \frac{- 2 \sqrt{2}}{8} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.5.4

Reescribe la expresión.

$- 1 (- 2 \sqrt{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.7

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.7.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.7.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.7.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.7.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.7.2.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.7.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.7.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.7.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.7.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.7.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.7.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.7.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.7.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.7.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.7.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.7.4.4.1

Cancela el factor común.

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.7.4.4.2

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.7.4.5

Evalúa el exponente.

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{2^{2}}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.7.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{4}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.7.6

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.7.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 (1)}{4}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.7.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.7.6.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.7.6.2.2

Cancela el factor común.

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.7.6.2.3

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{2} e^{1 - \frac{1}{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.8

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{2 - 1}{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.10

Resta $1$ de $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 12 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.11

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.11.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ al numerador.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 12 \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.11.2

Factoriza $2$ de $12$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 2 (6) \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.11.3

Cancela el factor común.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 6 \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.11.4

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} + 6 (- \sqrt{2}) e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.12

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 13.1.13

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.13.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.13.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Paso 13.1.13.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Paso 13.1.13.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.13.2.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 13.1.13.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.13.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 13.1.13.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 13.1.13.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 + {(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 13.1.13.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 13.1.13.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.13.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 13.1.13.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Paso 13.1.13.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 13.1.13.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.13.4.4.1

Cancela el factor común.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 13.1.13.4.4.2

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Paso 13.1.13.4.5

Evalúa el exponente.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Paso 13.1.13.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2}{4}}$

Paso 13.1.13.6

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.13.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Paso 13.1.13.6.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1.13.6.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 13.1.13.6.2.2

Cancela el factor común.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 13.1.13.6.2.3

Reescribe la expresión.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{1 - \frac{1}{2}}$

Paso 13.1.14

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Paso 13.1.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{\frac{2 - 1}{2}}$

Paso 13.1.16

Resta $1$ de $2$ .

$2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}} - 6 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Paso 13.2

Resta $6 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ de $2 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Paso 14

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ es un máximo local porque el valor de la segunda derivada es negativo. Esto se conoce como prueba de la segunda derivada

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ es un máximo local

Paso 15

Obtén el valor de y cuando $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ en la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 15.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ al numerador.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 2 \frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 15.2.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 (- 1) (\frac{- \sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 15.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- \sqrt{2}}{2}) \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 15.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - 1 (- \sqrt{2}) \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 15.2.1.2

Multiplica.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 \sqrt{2} \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 15.2.1.2.2

Multiplica $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Paso 15.2.2

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Paso 15.2.2.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Paso 15.2.2.2

Multiplica $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.2.1

Mueve ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Paso 15.2.2.2.2

Multiplica ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 15.2.2.2.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 + {(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Paso 15.2.2.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Paso 15.2.2.2.3

Suma $2$ y $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 + {(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Paso 15.2.2.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 15.2.2.4

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 15.2.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Paso 15.2.2.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Paso 15.2.2.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 15.2.2.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 15.2.2.4.4.1

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Paso 15.2.2.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Paso 15.2.2.4.5

Evalúa el exponente.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2}{2^{2}}}$

Paso 15.2.2.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2}{4}}$

Paso 15.2.2.6

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 15.2.2.6.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 (1)}{4}}$

Paso 15.2.2.6.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 15.2.2.6.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 15.2.2.6.2.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Paso 15.2.2.6.2.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{1 - \frac{1}{2}}$

Paso 15.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 15.2.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Paso 15.2.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} \cdot e^{\frac{2 - 1}{2}}$

Paso 15.2.3.3

Resta $1$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Paso 15.2.4

La respuesta final es $\sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}}$

Paso 16

Estos son los extremos locales de $f (x) = - 2 x e^{1 - x^{2}}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}})$ es un mínimo local

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2} e^{\frac{1}{2}})$ es un máximo local

Paso 17