Cálculo Ejemplos

$x y^{2} + \frac{x^{2}}{y} = 5$

Paso 1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} + \frac{x^{2}}{y}) = \frac{d}{d x} (5)$

Paso 2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x y^{2} + \frac{x^{2}}{y}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Paso 2.2.1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

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Paso 2.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Paso 2.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Paso 2.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Paso 2.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Paso 2.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Paso 2.2.5

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Paso 2.2.6

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{y}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

Paso 2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{y (2 x) - x^{2} y'}{y^{2}}$

Paso 2.3.4

Mueve $2$ a la izquierda de $y$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Combina los términos.

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Paso 2.4.1.1

Para escribir $2 x y y'$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$y^{2} + \frac{2 x y y' y^{2}}{y^{2}} + \frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y^{2} + \frac{2 x y y' y^{2} + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.1.3

Multiplica $y$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1.3.1

Mueve $y^{2}$ .

$y^{2} + \frac{2 x (y^{2} y) y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.1.3.2

Multiplica $y^{2}$ por $y$ .

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Paso 2.4.1.3.2.1

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$y^{2} + \frac{2 x (y^{2} y^{1}) y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.1.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y^{2} + \frac{2 x y^{2 + 1} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.1.3.3

Suma $2$ y $1$ .

$y^{2} + \frac{2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.1.4

Para escribir $y^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2} y^{2}}{y^{2}} + \frac{2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{y^{2} y^{2} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.1.6

Multiplica $y^{2}$ por $y^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.4.1.6.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{y^{2 + 2} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.1.6.2

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{y^{4} + 2 x y^{3} y' + 2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

Paso 2.4.2

Reordena los términos.

$\frac{y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y'}{y^{2}}$

Paso 3

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$\frac{y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y'}{y^{2}} = 0$

Paso 5

Resuelve $y'$

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Paso 5.1

Establece el numerador igual a cero.

$y^{4} + 2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y' = 0$

Paso 5.2

Resuelve la ecuación en $y'$ .

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Paso 5.2.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 5.2.1.1

Resta $y^{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y^{3} x y' + 2 x y - x^{2} y' = - y^{4}$

Paso 5.2.1.2

Resta $2 x y$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y^{3} x y' - x^{2} y' = - y^{4} - 2 x y$

Paso 5.2.2

Factoriza $x y'$ de $2 y^{3} x y' - x^{2} y'$ .

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $x y'$ de $2 y^{3} x y'$ .

$x y' (2 y^{3}) - x^{2} y' = - y^{4} - 2 x y$

Paso 5.2.2.2

Factoriza $x y'$ de $- x^{2} y'$ .

$x y' (2 y^{3}) + x y' (- x) = - y^{4} - 2 x y$

Paso 5.2.2.3

Factoriza $x y'$ de $x y' (2 y^{3}) + x y' (- x)$ .

$x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$

Paso 5.2.3

Divide cada término en $x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$ por $x (2 y^{3} - x)$ y simplifica.

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Paso 5.2.3.1

Divide cada término en $x y' (2 y^{3} - x) = - y^{4} - 2 x y$ por $x (2 y^{3} - x)$ .

$\frac{x y' (2 y^{3} - x)}{x (2 y^{3} - x)} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Paso 5.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y' (2 y^{3} - x)}{x (2 y^{3} - x)} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Paso 5.2.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (2 y^{3} - x)}{2 y^{3} - x} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Paso 5.2.3.2.2

Cancela el factor común de $2 y^{3} - x$ .

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Paso 5.2.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (2 y^{3} - x)}{2 y^{3} - x} = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Paso 5.2.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Paso 5.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Paso 5.2.3.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 5.2.3.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y}{x (2 y^{3} - x)}$

Paso 5.2.3.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} + \frac{- 2 y}{2 y^{3} - x}$

Paso 5.2.3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y}{2 y^{3} - x}$

Paso 5.2.3.3.2

Para escribir $- \frac{2 y}{2 y^{3} - x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y}{2 y^{3} - x} \cdot \frac{x}{x}$

Paso 5.2.3.3.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $x (2 y^{3} - x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 5.2.3.3.3.1

Multiplica $\frac{2 y}{2 y^{3} - x}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y x}{(2 y^{3} - x) x}$

Paso 5.2.3.3.3.2

Reordena los factores de $(2 y^{3} - x) x$ .

$y' = - \frac{y^{4}}{x (2 y^{3} - x)} - \frac{2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

Paso 5.2.3.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y' = \frac{- y^{4} - 2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

Paso 5.2.3.3.5

Factoriza $y$ de $- y^{4} - 2 y x$ .

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Paso 5.2.3.3.5.1

Factoriza $y$ de $- y^{4}$ .

$y' = \frac{y (- y^{3}) - 2 y x}{x (2 y^{3} - x)}$

Paso 5.2.3.3.5.2

Factoriza $y$ de $- 2 y x$ .

$y' = \frac{y (- y^{3}) + y (- 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Paso 5.2.3.3.5.3

Factoriza $y$ de $y (- y^{3}) + y (- 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- y^{3} - 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Paso 5.2.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $- y^{3}$ .

$y' = \frac{y (- (y^{3}) - 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Paso 5.2.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{y (- (y^{3}) - (2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

Paso 5.2.3.3.8

Factoriza $- 1$ de $- (y^{3}) - (2 x)$ .

$y' = \frac{y (- (y^{3} + 2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

Paso 5.2.3.3.9

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.3.3.9.1

Reescribe $- (y^{3} + 2 x)$ como $- 1 (y^{3} + 2 x)$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y^{3} + 2 x))}{x (2 y^{3} - x)}$

Paso 5.2.3.3.9.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{y (y^{3} + 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$

Paso 6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y^{3} + 2 x)}{x (2 y^{3} - x)}$