Cálculo Ejemplos

$3^{x} + 2021$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3^{x} + 2021$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [2021]$ .

$\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [2021]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $3$ .

$3^{x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [2021]$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.3.1

Como $2021$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2021$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3^{x} \ln (3) + 0$

Paso 1.3.2

Suma $3^{x} \ln (3)$ y $0$ .

$f' (x) = 3^{x} \ln (3)$

Paso 2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1

Como $\ln (3)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3^{x} \ln (3)$ con respecto a $x$ es $\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ .

$\ln (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $3$ .

$\ln (3) (3^{x} \ln (3))$

Paso 2.3

Eleva $\ln (3)$ a la potencia de $1$ .

$3^{x} (\ln^{1} (3) \ln (3))$

Paso 2.4

Eleva $\ln (3)$ a la potencia de $1$ .

$3^{x} (\ln^{1} (3) \ln^{1} (3))$

Paso 2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$3^{x} {\ln (3)}^{1 + 1}$

Paso 2.6

Suma $1$ y $1$ .

$f'' (x) = 3^{x} \ln^{2} (3)$

Paso 3

Obtén la tercera derivada.

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Paso 3.1

Como $\ln^{2} (3)$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3^{x} \ln^{2} (3)$ con respecto a $x$ es $\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$ .

$\ln^{2} (3) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Paso 3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $3$ .

$\ln^{2} (3) (3^{x} \ln (3))$

Paso 3.3

Multiplica $\ln^{2} (3)$ por $\ln (3)$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1

Mueve $\ln (3)$ .

$\ln (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x}$

Paso 3.3.2

Multiplica $\ln (3)$ por $\ln^{2} (3)$ .

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Paso 3.3.2.1

Eleva $\ln (3)$ a la potencia de $1$ .

$\ln^{1} (3) \ln^{2} (3) \cdot 3^{x}$

Paso 3.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\ln (3)}^{1 + 2} \cdot 3^{x}$

Paso 3.3.3

Suma $1$ y $2$ .

$\ln^{3} (3) \cdot 3^{x}$

Paso 3.4

Reordena los factores de $\ln^{3} (3) \cdot 3^{x}$ .

$f''' (x) = 3^{x} \ln^{3} (3)$