Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to - 2} \frac{{(x + 3)}^{5} - 1}{x^{2} - 4}$

Paso 1

Aplica la regla de l'Hôpital

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Paso 1.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

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Paso 1.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{lim_{x \to - 2} {(x + 3)}^{5} - 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.1.2

Evalúa el límite del numerador.

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Paso 1.1.2.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.2.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{lim_{x \to - 2} {(x + 3)}^{5} - lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.1.2

Mueve el exponente $5$ de ${(x + 3)}^{5}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x + 3)}^{5} - lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.1.3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 3)}^{5} - lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.1.4

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x + 3)}^{5} - lim_{x \to - 2} 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.1.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 2} x + 3)}^{5} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{{(- 2 + 3)}^{5} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.3.1.1

Suma $- 2$ y $3$ .

$\frac{1^{5} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.3.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.1.2.3.2

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{2} - 4}$

Paso 1.1.3

Evalúa el límite del denominador.

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Paso 1.1.3.1

Evalúa el límite.

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Paso 1.1.3.1.1

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 2} x^{2} - lim_{x \to - 2} 4}$

Paso 1.1.3.1.2

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - lim_{x \to - 2} 4}$

Paso 1.1.3.1.3

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{0}{{(- 2)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.3

Simplifica la respuesta.

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Paso 1.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.3.3.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Paso 1.1.3.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Paso 1.1.3.3.2

Resta $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.3.3

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.3.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.1.4

La expresión contiene una división por $0$ . La expresión es indefinida.

Indefinida

$\frac{0}{0}$

Paso 1.2

Como $\frac{0}{0}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to - 2} \frac{{(x + 3)}^{5} - 1}{x^{2} - 4} = lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

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Paso 1.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de ${(x + 3)}^{5} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}]$ .

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Paso 1.3.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{5}$ y $g (x) = x + 3$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3.3.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 3$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3.3.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3.3.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3.3.5

Suma $1$ y $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3.3.6

Multiplica $5$ por $1$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3.5

Suma $5 {(x + 3)}^{4}$ y $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Paso 1.3.6

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Paso 1.3.8

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4}}{2 x + 0}$

Paso 1.3.9

Suma $2 x$ y $0$ .

$lim_{x \to - 2} \frac{5 {(x + 3)}^{4}}{2 x}$

Paso 2

Evalúa el límite.

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Paso 2.1

Mueve el término $\frac{5}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{5}{2} lim_{x \to - 2} \frac{{(x + 3)}^{4}}{x}$

Paso 2.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 2} {(x + 3)}^{4}}{lim_{x \to - 2} x}$

Paso 2.3

Mueve el exponente $4$ de ${(x + 3)}^{4}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{5}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to - 2} x + 3)}^{4}}{lim_{x \to - 2} x}$

Paso 2.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- 2$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to - 2} x + lim_{x \to - 2} 3)}^{4}}{lim_{x \to - 2} x}$

Paso 2.5

Evalúa el límite de $3$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- 2$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to - 2} x + 3)}^{4}}{lim_{x \to - 2} x}$

Paso 3

Evalúa los límites mediante el ingreso de $- 2$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 3.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{{(- 2 + 3)}^{4}}{lim_{x \to - 2} x}$

Paso 3.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $- 2$ para $x$ .

$\frac{5}{2} \cdot \frac{{(- 2 + 3)}^{4}}{- 2}$

Paso 4

Simplifica la respuesta.

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Paso 4.1

Combinar.

$\frac{5 {(- 2 + 3)}^{4}}{2 \cdot - 2}$

Paso 4.2

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1

Suma $- 2$ y $3$ .

$\frac{5 \cdot 1^{4}}{2 \cdot - 2}$

Paso 4.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{5 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

Paso 4.3

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{5 \cdot 1}{- 4}$

Paso 4.4

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{5}{- 4}$

Paso 4.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{5}{4}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$- \frac{5}{4}$

Forma decimal:

$- 1.25$