Cálculo Ejemplos

$\int \frac{x^{5}}{x^{3} - 1} d x$

Paso 1

Escribe la fracción mediante la descomposición en fracciones simples.

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Paso 1.1

Divide con la división polinómica larga.

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Paso 1.1.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 1.1.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{5}$ por el término de mayor orden en el divisor $x^{3}$ .

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 1.1.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

Paso 1.1.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{5} + 0 + 0 - x^{2}$ .

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

Paso 1.1.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

Paso 1.1.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{5}$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Paso 1.1.7

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{3} - 1}$

Paso 1.2

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.2.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.2.1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{3} - 1^{3}}$

Paso 1.2.1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}$

Paso 1.2.1.3

Simplifica.

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Paso 1.2.1.3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}$

Paso 1.2.1.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 1.2.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Paso 1.2.3

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor es de segundo orden, se requieren $2$ términos en el numerador. El número de términos requeridos en el numerador siempre es igual al orden del factor en el denominador.

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.2.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .

$\frac{x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.2.5

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.2.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.2.6

Cancela el factor común de $x^{2} + x + 1$ .

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Paso 1.2.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.2.6.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{(A) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.2.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.7.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 1.2.7.1.1

Cancela el factor común.

$x^{2} = \frac{A (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x - 1} + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.2.7.1.2

Divide $(A) (x^{2} + x + 1)$ por $1$ .

$x^{2} = (A) (x^{2} + x + 1) + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.2.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.2.7.3

Multiplica $A$ por $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.2.7.4

Cancela el factor común de $x^{2} + x + 1$ .

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Paso 1.2.7.4.1

Cancela el factor común.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + \frac{(B x + C) (x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.2.7.4.2

Divide $(B x + C) (x - 1)$ por $1$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + (B x + C) (x - 1)$

Paso 1.2.7.5

Expande $(B x + C) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.7.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x (x - 1) + C (x - 1)$

Paso 1.2.7.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C (x - 1)$

Paso 1.2.7.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x \cdot x + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Paso 1.2.7.6

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.7.6.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.7.6.1.1

Mueve $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B (x \cdot x) + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Paso 1.2.7.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} + B x \cdot - 1 + C x + C \cdot - 1$

Paso 1.2.7.6.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $B x$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 \cdot (B x) + C x + C \cdot - 1$

Paso 1.2.7.6.3

Reescribe $- 1 (B x)$ como $- (B x)$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - (B x) + C x + C \cdot - 1$

Paso 1.2.7.6.4

Mueve $- 1$ a la izquierda de $C$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - 1 \cdot C$

Paso 1.2.7.6.5

Reescribe $- 1 C$ como $- C$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Paso 1.2.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.8.1

Reordena $B$ y $x^{2}$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - B x + C x - C$

Paso 1.2.8.2

Mueve $B$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + A + B x^{2} - 1 x B + C x - C$

Paso 1.2.8.3

Mueve $A$ .

$x^{2} = A x^{2} + A x + B x^{2} - 1 x B + C x + A - C$

Paso 1.2.8.4

Mueve $A x$ .

$x^{2} = A x^{2} + B x^{2} + A x - 1 x B + C x + A - C$

Paso 1.3

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 1.3.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x^{2}$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 1.3.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A - 1 B + C$

Paso 1.3.3

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A - 1 C$

Paso 1.3.4

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

$1 = A + B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

Paso 1.4

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 1.4.1

Resuelve $A$ en $1 = A + B$ .

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Paso 1.4.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

Paso 1.4.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 B + C$

$0 = A - 1 C$

Paso 1.4.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - B$ en cada ecuación.

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Paso 1.4.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A - 1 B + C$ por $1 - B$ .

$0 = (1 - B) - 1 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

Paso 1.4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.2.1

Simplifica $(1 - B) - 1 B + C$ .

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Paso 1.4.2.2.1.1

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$0 = 1 - B - B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

Paso 1.4.2.2.1.2

Resta $B$ de $- B$ .

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = A - 1 C$

Paso 1.4.2.3

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = A - 1 C$ por $1 - B$ .

$0 = (1 - B) - 1 C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

Paso 1.4.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.2.4.1

Reescribe $- 1 C$ como $- C$ .

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

$A = 1 - B$

Paso 1.4.3

Reordena $1$ y $- B$ .

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$0 = 1 - 2 B + C$

Paso 1.4.4

Resuelve $C$ en $0 = 1 - 2 B + C$ .

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Paso 1.4.4.1

Reescribe la ecuación como $1 - 2 B + C = 0$ .

$1 - 2 B + C = 0$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

Paso 1.4.4.2

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.4.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 B + C = - 1$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

Paso 1.4.4.2.2

Suma $2 B$ a ambos lados de la ecuación.

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B - C$

Paso 1.4.5

Reemplaza todos los casos de $C$ por $- 1 + 2 B$ en cada ecuación.

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Paso 1.4.5.1

Reemplaza todos los casos de $C$ en $0 = 1 - B - C$ por $- 1 + 2 B$ .

$0 = 1 - B - (- 1 + 2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Paso 1.4.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.5.2.1

Simplifica $1 - B - (- 1 + 2 B)$ .

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Paso 1.4.5.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.5.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 = 1 - B + 1 - (2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Paso 1.4.5.2.1.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$0 = 1 - B + 1 - (2 B)$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Paso 1.4.5.2.1.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$0 = 1 - B + 1 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = 1 - B + 1 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Paso 1.4.5.2.1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.4.5.2.1.2.1

Suma $1$ y $1$ .

$0 = - B + 2 - 2 B$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Paso 1.4.5.2.1.2.2

Resta $2 B$ de $- B$ .

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$0 = - 3 B + 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Paso 1.4.6

Resuelve $B$ en $0 = - 3 B + 2$ .

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Paso 1.4.6.1

Reescribe la ecuación como $- 3 B + 2 = 0$ .

$- 3 B + 2 = 0$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Paso 1.4.6.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 B = - 2$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Paso 1.4.6.3

Divide cada término en $- 3 B = - 2$ por $- 3$ y simplifica.

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Paso 1.4.6.3.1

Divide cada término en $- 3 B = - 2$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Paso 1.4.6.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.6.3.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 1.4.6.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Paso 1.4.6.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{- 2}{- 3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Paso 1.4.6.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.6.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

$B = \frac{2}{3}$

$C = - 1 + 2 B$

$A = - B + 1$

Paso 1.4.7

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{2}{3}$ en cada ecuación.

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Paso 1.4.7.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $C = - 1 + 2 B$ por $\frac{2}{3}$ .

$C = - 1 + 2 (\frac{2}{3})$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Paso 1.4.7.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.7.2.1

Simplifica $- 1 + 2 (\frac{2}{3})$ .

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Paso 1.4.7.2.1.1

Multiplica $2 (\frac{2}{3})$ .

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Paso 1.4.7.2.1.1.1

Combina $2$ y $\frac{2}{3}$ .

$C = - 1 + \frac{2 \cdot 2}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Paso 1.4.7.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$C = - 1 + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = - 1 + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Paso 1.4.7.2.1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$C = - 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Paso 1.4.7.2.1.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$C = \frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Paso 1.4.7.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$C = \frac{- 1 \cdot 3 + 4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Paso 1.4.7.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.7.2.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$C = \frac{- 3 + 4}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Paso 1.4.7.2.1.5.2

Suma $- 3$ y $4$ .

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = - B + 1$

Paso 1.4.7.3

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B + 1$ por $\frac{2}{3}$ .

$A = - (\frac{2}{3}) + 1$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Paso 1.4.7.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.4.7.4.1

Simplifica $- (\frac{2}{3}) + 1$ .

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Paso 1.4.7.4.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$A = - \frac{2}{3} + \frac{3}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Paso 1.4.7.4.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{- 2 + 3}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Paso 1.4.7.4.1.3

Suma $- 2$ y $3$ .

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

Paso 1.4.8

Enumera todas las soluciones.

$A = \frac{1}{3}, C = \frac{1}{3}, B = \frac{2}{3}$

Paso 1.5

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $x^{2} + \frac{A}{x - 1} + \frac{B x + C}{x^{2} + x + 1}$ con los valores obtenidos para $A$ , $B$ y $C$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{\frac{2}{3 x} + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.6

Simplifica.

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Paso 1.6.1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $3$ .

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Paso 1.6.1.1

Multiplica $\frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2}{3} x + \frac{1}{3}}{x^{2} + x + 1}$

Paso 1.6.1.2

Combinar.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x + \frac{1}{3})}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Paso 1.6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Paso 1.6.3

Simplifica los términos.

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Paso 1.6.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.6.3.1.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 3 (\frac{1}{3})}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Paso 1.6.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3} x) + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Paso 1.6.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.6.3.2.1

Cancela el factor común.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{3 (\frac{2}{3}) \cdot x + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Paso 1.6.3.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1}$

Paso 1.6.3.3

Factoriza $3$ de $3 x^{2} + 3 x + 3 \cdot 1$ .

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Paso 1.6.3.3.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 x + 3 \cdot 1}$

Paso 1.6.3.3.2

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 \cdot 1}$

Paso 1.6.3.3.3

Factoriza $3$ de $3 \cdot 1$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2}) + 3 (x) + 3 (1)}$

Paso 1.6.3.3.4

Factoriza $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (x)$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x) + 3 (1)}$

Paso 1.6.3.3.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} + x) + 3 (1)$ .

$x^{2} + \frac{\frac{1}{3}}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Paso 1.6.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x^{2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)}$

Paso 1.6.5

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$\int x^{2} + \frac{1}{3 (x - 1)} + \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Paso 2

Divide la única integral en varias integrales.

$\int x^{2} d x + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Paso 3

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int \frac{1}{3 (x - 1)} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Paso 4

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Paso 5

Sea $u_{1} = x - 1$ . Entonces $d u_{1} = d x$ . Reescribe mediante $u_{1}$ y $d$ $u_{1}$ .

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Paso 5.1

Deja $u_{1} = x - 1$ . Obtén $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Paso 5.1.1

Diferencia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Paso 5.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 5.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 5.1.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 5.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 5.2

Reescribe el problema mediante $u_{1}$ y $d u_{1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Paso 6

La integral de $\frac{1}{u_{1}}$ con respecto a $u_{1}$ es $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2 x + 1}{3 (x^{2} + x + 1)} d x$

Paso 7

Dado que $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{3}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x$

Paso 8

Sea $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Entonces $d u_{2} = (2 x + 1) d x$ , de modo que $\frac{1}{2 x + 1} d u_{2} = d x$ . Reescribe mediante $u_{2}$ y $d$ $u_{2}$ .

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Paso 8.1

Deja $u_{2} = x^{2} + x + 1$ . Obtén $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Paso 8.1.1

Diferencia $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]$

Paso 8.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} + x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 8.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 8.1.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Paso 8.1.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$2 x + 1 + 0$

Paso 8.1.6

Suma $2 x + 1$ y $0$ .

$2 x + 1$

Paso 8.2

Reescribe el problema mediante $u_{2}$ y $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Paso 9

La integral de $\frac{1}{u_{2}}$ con respecto a $u_{2}$ es $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Paso 10

Simplifica.

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 11

Vuelve a sustituir para cada variable de sustitución de la integración.

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Paso 11.1

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Paso 11.2

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x^{2} + x + 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \ln (| x - 1 |) + \frac{1}{3} \ln (| x^{2} + x + 1 |) + C$