Cálculo Ejemplos

$\int_{0}^{1} x^{4} e^{2 x^{5} - 7} d x$

Paso 1

Sea $u = 2 x^{5} - 7$ . Entonces $d u = 10 x^{4} d x$ , de modo que $\frac{1}{10} d u = x^{4} d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 1.1

Deja $u = 2 x^{5} - 7$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 1.1.1

Diferencia $2 x^{5} - 7$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5} - 7]$

Paso 1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x^{5} - 7$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [2 x^{5}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x^{5}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $5$ por $2$ .

$10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $- 7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$10 x^{4} + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $10 x^{4}$ y $0$ .

$10 x^{4}$

Paso 1.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = 2 x^{5} - 7$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0^{5} - 7$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 - 7$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 - 7$

Paso 1.3.2

Resta $7$ de $0$ .

$u_{lower} = - 7$

Paso 1.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = 2 x^{5} - 7$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 1^{5} - 7$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 7$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$u_{upper} = 2 - 7$

Paso 1.5.2

Resta $7$ de $2$ .

$u_{upper} = - 5$

Paso 1.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = - 7$

$u_{upper} = - 5$

Paso 1.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\int_{- 7}^{- 5} e^{u} \frac{1}{10} d u$

Paso 2

Combina $e^{u}$ y $\frac{1}{10}$ .

$\int_{- 7}^{- 5} \frac{e^{u}}{10} d u$

Paso 3

Dado que $\frac{1}{10}$ es constante con respecto a $u$ , mueve $\frac{1}{10}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{10} \int_{- 7}^{- 5} e^{u} d u$

Paso 4

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{10} e^{u}]_{- 7}^{- 5}$

Paso 5

Evalúa $e^{u}$ en $- 5$ y en $- 7$ .

$\frac{1}{10} (e^{- 5} - e^{- 7})$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{10} e^{- 5} + \frac{1}{10} (- e^{- 7})$

Paso 6.2

Combina $\frac{1}{10}$ y $e^{- 5}$ .

$\frac{e^{- 5}}{10} + \frac{1}{10} (- e^{- 7})$

Paso 6.3

Combina $\frac{1}{10}$ y $e^{- 7}$ .

$\frac{e^{- 5}}{10} - \frac{e^{- 7}}{10}$

Paso 6.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1

Mueve $e^{- 5}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{10 e^{5}} - \frac{e^{- 7}}{10}$

Paso 6.4.2

Mueve $e^{- 7}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{10 e^{5}} - \frac{1}{10 e^{7}}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{10 e^{5}} - \frac{1}{10 e^{7}}$

Forma decimal:

$0.00058260 \dots$

Paso 8