Cálculo Ejemplos

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 x^{- 1}}{x + 4 x^{- 1}}$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 1.1.1

Convierte exponentes negativos en fracciones.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 \frac{1}{x}}{x + 4 x^{- 1}}$

Paso 1.1.1.2

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + 2 \frac{1}{x}}{x + 4 \frac{1}{x}}$

Paso 1.1.2

Combina factores.

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Paso 1.1.2.1

Combina $2$ y $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + \frac{2}{x}}{x + 4 \frac{1}{x}}$

Paso 1.1.2.2

Combina $4$ y $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x + \frac{2}{x}}{x + \frac{4}{x}}$

Paso 1.1.3

Combina los términos.

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Paso 1.1.3.1

Para escribir $3 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x}{x} + \frac{2}{x}}{x + \frac{4}{x}}$

Paso 1.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{x + \frac{4}{x}}$

Paso 1.1.3.3

Para escribir $x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{\frac{x \cdot x}{x} + \frac{4}{x}}$

Paso 1.1.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 x \cdot x + 2}{x}}{\frac{x \cdot x + 4}{x}}$

Paso 1.2

Simplifica el argumento de límite.

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Paso 1.2.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x \cdot x + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

Paso 1.2.2

Combina factores.

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Paso 1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (x^{1} x) + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

Paso 1.2.2.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 (x^{1} x^{1}) + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

Paso 1.2.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{1 + 1} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

Paso 1.2.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x \cdot x + 4}$

Paso 1.2.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{1} x + 4}$

Paso 1.2.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{1} x^{1} + 4}$

Paso 1.2.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{1 + 1} + 4}$

Paso 1.2.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x} \cdot \frac{x}{x^{2} + 4}$

Paso 1.2.2.9

Multiplica $\frac{3 x^{2} + 2}{x}$ por $\frac{x}{x^{2} + 4}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{(3 x^{2} + 2) x}{x (x^{2} + 4)}$

Paso 1.2.3

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.3.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to 0} \frac{(3 x^{2} + 2) x}{x (x^{2} + 4)}$

Paso 1.2.3.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2} + 2}{x^{2} + 4}$

Paso 2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

Paso 3

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

Paso 4

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

Paso 5

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

Paso 6

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4}$

Paso 7

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 4}$

Paso 8

Mueve el exponente $2$ de $x^{2}$ fuera del límite mediante la regla de la potencia de límites.

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 4}$

Paso 9

Evalúa el límite de $4$ que es constante cuando $x$ se acerca a $0$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4}$

Paso 10

Evalúa los límites mediante el ingreso de $0$ para todos los casos de $x$ .

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Paso 10.1

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 2}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4}$

Paso 10.2

Evalúa el límite de $x$ mediante el ingreso de $0$ para $x$ .

$\frac{3 \cdot 0^{2} + 2}{0^{2} + 4}$

Paso 11

Simplifica la respuesta.

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Paso 11.1

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{3 \cdot 0 + 2}{0^{2} + 4}$

Paso 11.1.2

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{0 + 2}{0^{2} + 4}$

Paso 11.1.3

Suma $0$ y $2$ .

$\frac{2}{0^{2} + 4}$

Paso 11.2

Simplifica el denominador.

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Paso 11.2.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{2}{0 + 4}$

Paso 11.2.2

Suma $0$ y $4$ .

$\frac{2}{4}$

Paso 11.3

Cancela el factor común de $2$ y $4$ .

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Paso 11.3.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Paso 11.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 11.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Paso 11.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{2}$

Paso 12

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$