Cálculo Ejemplos

$y' + y'' = 6 e^{2 x}$ , $y = e^{2 x}$

Paso 1

Obtén $y'$ .

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (e^{2 x})$

Paso 1.2

La derivada de $y$ con respecto a $x$ es $y'$ .

$y'$

Paso 1.3

Diferencia el lado derecho de la ecuación.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 1.3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 1.3.2

Diferencia.

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Paso 1.3.2.1

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Paso 1.3.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.3.2.3.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2$

Paso 1.3.2.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x}$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$y' = 2 e^{2 x}$

Paso 2

Obtén $y''$ .

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Paso 2.1

Establece la derivada.

$y'' = \frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$

Paso 2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 e^{2 x}$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y'' = 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = e^{x}$ y $g (x) = 2 x$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x$ .

$y'' = 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$y'' = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x$ .

$y'' = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Paso 2.4

Elimina los paréntesis.

$y'' = 2 e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Paso 2.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y'' = 2 e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$y'' = 4 e^{2 x} \cdot 1$

Paso 2.8

Multiplica $4$ por $1$ .

$y'' = 4 e^{2 x}$

Paso 3

Sustituye en la ecuación diferencial dada.

$2 e^{2 x} + 4 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Paso 4

Suma $2 e^{2 x}$ y $4 e^{2 x}$ .

$6 e^{2 x} = 6 e^{2 x}$

Paso 5

La solución dada satisface la ecuación diferencial dada.

$y = e^{2 x}$ es una solución para $y' + y'' = 6 e^{2 x}$