Cálculo Ejemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 \sqrt{y + 1} \cos (x)$

Paso 1

Separa las variables.

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Paso 1.1

Multiplica ambos lados por $\frac{1}{\sqrt{y + 1}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y + 1}} (2 \sqrt{y + 1} \cos (x))$

Paso 1.2

Simplifica.

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Paso 1.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{y + 1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Paso 1.2.2

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{y + 1}}$ por $\frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 (\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \cdot \frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}) (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Paso 1.2.3

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{y + 1}}$ por $\frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{\sqrt{y + 1} \sqrt{y + 1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Paso 1.2.3.2

Eleva $\sqrt{y + 1}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1} \sqrt{y + 1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Paso 1.2.3.3

Eleva $\sqrt{y + 1}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1} {\sqrt{y + 1}}^{1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Paso 1.2.3.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{1 + 1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Paso 1.2.3.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{\sqrt{y + 1}}^{2}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Paso 1.2.3.6

Reescribe ${\sqrt{y + 1}}^{2}$ como $y + 1$ .

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Paso 1.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 1}$ como ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Paso 1.2.3.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Paso 1.2.3.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Paso 1.2.3.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{\frac{2}{2}}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Paso 1.2.3.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{{(y + 1)}^{1}} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Paso 1.2.3.6.5

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{y + 1}}{y + 1} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Paso 1.2.4

Combina $2$ y $\frac{\sqrt{y + 1}}{y + 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{y + 1}}{y + 1} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$

Paso 1.2.5

Multiplica $\frac{2 \sqrt{y + 1}}{y + 1} (\sqrt{y + 1} \cos (x))$ .

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Paso 1.2.5.1

Combina $\sqrt{y + 1}$ y $\frac{2 \sqrt{y + 1}}{y + 1}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{y + 1} (2 \sqrt{y + 1})}{y + 1} \cos (x)$

Paso 1.2.5.2

Eleva $\sqrt{y + 1}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 ({\sqrt{y + 1}}^{1} \sqrt{y + 1})}{y + 1} \cos (x)$

Paso 1.2.5.3

Eleva $\sqrt{y + 1}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 ({\sqrt{y + 1}}^{1} {\sqrt{y + 1}}^{1})}{y + 1} \cos (x)$

Paso 1.2.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {\sqrt{y + 1}}^{1 + 1}}{y + 1} \cos (x)$

Paso 1.2.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {\sqrt{y + 1}}^{2}}{y + 1} \cos (x)$

Paso 1.2.5.6

Combina $\frac{2 {\sqrt{y + 1}}^{2}}{y + 1}$ y $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {\sqrt{y + 1}}^{2} \cos (x)}{y + 1}$

Paso 1.2.6

Reescribe ${\sqrt{y + 1}}^{2}$ como $y + 1$ .

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Paso 1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 1}$ como ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \cos (x)}{y + 1}$

Paso 1.2.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cos (x)}{y + 1}$

Paso 1.2.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{2}{2}} \cos (x)}{y + 1}$

Paso 1.2.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.6.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y + 1)}^{\frac{2}{2}} \cos (x)}{y + 1}$

Paso 1.2.6.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 {(y + 1)}^{1} \cos (x)}{y + 1}$

Paso 1.2.6.5

Simplifica.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (y + 1) \cos (x)}{y + 1}$

Paso 1.2.7

Cancela el factor común de $y + 1$ .

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Paso 1.2.7.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (y + 1) \cos (x)}{y + 1}$

Paso 1.2.7.2

Divide $2 \cos (x)$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} \frac{d y}{d x} = 2 \cos (x)$

Paso 1.3

Reescribe la ecuación.

$\frac{1}{\sqrt{y + 1}} d y = 2 \cos (x) d x$

Paso 2

Integra ambos lados.

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Paso 2.1

Establece una integral en cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{y + 1}} d y = \int 2 \cos (x) d x$

Paso 2.2

Integra el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Sea $u = y + 1$ . Entonces $d u = d y$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 2.2.1.1

Deja $u = y + 1$ . Obtén $\frac{d u}{d y}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Diferencia $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Paso 2.2.1.1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $y + 1$ con respecto a $y$ es $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ es $n y^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Paso 2.2.1.1.4

Como $1$ es constante con respecto a $y$ , la derivada de $1$ con respecto a $y$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 2.2.1.1.5

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 2.2.1.2

Reescribe el problema mediante $u$ y $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int 2 \cos (x) d x$

Paso 2.2.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int 2 \cos (x) d x$

Paso 2.2.2.2

Mueve $u^{\frac{1}{2}}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int 2 \cos (x) d x$

Paso 2.2.2.3

Multiplica los exponentes en ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.2.2.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int 2 \cos (x) d x$

Paso 2.2.2.3.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int 2 \cos (x) d x$

Paso 2.2.2.3.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int 2 \cos (x) d x$

Paso 2.2.3

Según la regla de la potencia, la integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ con respecto a $u$ es $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 2 \cos (x) d x$

Paso 2.2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y + 1$ .

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 2 \cos (x) d x$

Paso 2.3

Integra el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Dado que $2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $2$ fuera de la integral.

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \int \cos (x) d x$

Paso 2.3.2

La integral de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $\sin (x)$ .

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 (\sin (x) + C_{2})$

Paso 2.3.3

Simplifica.

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 \sin (x) + C_{2}$

Paso 2.4

Agrupa la constante de integración en el lado derecho como $K$ .

$2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 \sin (x) + K$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Divide cada término en $2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 \sin (x) + K$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.1.1

Divide cada término en $2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = 2 \sin (x) + K$ por $2$ .

$\frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \sin (x)}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 {(y + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 \sin (x)}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.2.2

Divide ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \sin (x)}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.3.1.1

Cancela el factor común.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = \frac{2 \sin (x)}{2} + \frac{K}{2}$

Paso 3.1.3.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2}} = \sin (x) + \frac{K}{2}$

Paso 3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $2$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el exponente.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 1)}^{1} = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.1.1.2

Simplifica.

$y + 1 = {(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica ${(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Reescribe ${(\sin (x) + \frac{K}{2})}^{2}$ como $(\sin (x) + \frac{K}{2}) (\sin (x) + \frac{K}{2})$ .

$y + 1 = (\sin (x) + \frac{K}{2}) (\sin (x) + \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.2

Expande $(\sin (x) + \frac{K}{2}) (\sin (x) + \frac{K}{2})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.3.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 1 = \sin (x) (\sin (x) + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\sin (x) + \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 1 = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\sin (x) + \frac{K}{2})$

Paso 3.3.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y + 1 = \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.3.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.3.1.1

Multiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.1.1

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$y + 1 = \sin^{1} (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.1.2

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$y + 1 = \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + 1 = {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \sin (x) \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.2

Combina $\sin (x)$ y $\frac{K}{2}$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K}{2} \sin (x) + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.3

Combina $\frac{K}{2}$ y $\sin (x)$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4

Multiplica $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.1.4.1

Multiplica $\frac{K}{2}$ por $\frac{K}{2}$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4.2

Eleva $K$ a la potencia de $1$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4.3

Eleva $K$ a la potencia de $1$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Paso 3.3.2.1.3.1.4.6

Multiplica $2$ por $2$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{\sin (x) K}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.3.2

Suma $\frac{\sin (x) K}{2}$ y $\frac{K \sin (x)}{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.3.2.1

Reordena $\sin (x)$ y $K$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.3.2.2

Suma $\frac{K \sin (x)}{2}$ y $\frac{K \sin (x)}{2}$ .

$y + 1 = \sin^{2} (x) + 2 \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.4.1

Cancela el factor común.

$y + 1 = \sin^{2} (x) + 2 \frac{K \sin (x)}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.3.2.1.4.2

Reescribe la expresión.

$y + 1 = \sin^{2} (x) + K \sin (x) + \frac{K^{2}}{4}$

Paso 3.4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \sin^{2} (x) + K \sin (x) + \frac{K^{2}}{4} - 1$

Paso 4

Simplifica la constante de integración.

$y = \sin^{2} (x) + K \sin (x) + K$