Cálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{4}{7} {(\frac{7}{6})}^{i - 1}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica infinita se puede obtener mediante la fórmula $\frac{a}{1 - r}$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{i}$ y $a_{i + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $\frac{4}{7}$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{\frac{4}{7} \cdot {(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de ${(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}$ y ${(\frac{7}{6})}^{i - 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza ${(\frac{7}{6})}^{i - 1}$ de ${(\frac{7}{6})}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(\frac{7}{6})}^{i - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Paso 2.2.2.2.4

Divide ${(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$ por $1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i + 0 - (i - 1)}$

Paso 2.2.3

Suma $i$ y $0$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - (i - 1)}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - i - - 1}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{i - i + 1}$

Paso 2.2.5

Resta $i$ de $i$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{0 + 1}$

Paso 2.2.6

Suma $0$ y $1$ .

$r = {(\frac{7}{6})}^{1}$

Paso 2.2.7

Simplifica.

$r = \frac{7}{6}$

Paso 3

Comprueba si la serie es convergente o divergente.

Como $| r | \geq 1$ , las series divergen.